שיחה:חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים

• משפט: סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת.
• הוכחה: ללא הגבלת הכלליות נראה עבור סדרה מונוטונית יורדת חסומה an.
• בפרט an חסומה מלרע, ולכן לפי אקסיומת השלמות קיים לה אינפימום m.
• כעת נראה כי lim an = m. יהא אפסילון חיובי. אזי לכל n מתקיים:

an < m + epsilon

• הגדרנו את m כאינפימום של an, ולכן קיים N שעבורו aN > m- epsilon.
• הסדרה an מונוטונית יורדת, ולכן לכל n > N מתקיים כי an < m - epsilon.
• לכן, עבור epsilon קיים N המקיים:

m - epsilon < an < m + epsilon ==> | an - m | < epsilon

• ולכן הוכחנו כי סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת, ובפרט:

1. סדרה מונוטונית יורדת מתכנסת לאינפימום שלה. 2. סדרה מונוטונית עולה מתכנסת לסופרמום שלה.

• משפט: מכפלת סדרה חסומה בסדרה המתכנסת לאפס היא סדרה השואפת לאפס.
• הוכחה: נניח כי an חסומה ו- bn מתכנסת לאפס.
• לכן, לכל epsilon קיים N כך שלכל n > N יתקיים כי:

|bn| < epsilon ==> -epsilon < bn < epsilon

• כמו כן, an חסומה, כלומר קיים M ו- m כך שלכל n יתקיים:

m < an < M

• נגדיר T = max(M, -m ואז יתקיים כי לכל n:

-T < an < T

• נתבונן בסדרת המכפלה, יהא epsilon. נגדיר כי P הוא epsilon / T.
• יהי N המתאים עבור P מהגדרת גבול bn.
• אזי, לכל n > N יתקיים:

-T * P < an * bn < T * P ==> | an * bn | < T * P

• נציב במקום P את epsilon / T ונקבל כי לכל n > N:

| an * bn | < epsilon

להתחיל דיון על חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים

דפי שיחה הם המקום שבו אנשים דנים איך לגרום לתוכן באתר ויקיספר להיות הכי טוב שהוא יכול. אתה יכול להשתמש בדף השיחה הזה כדי להתחיל דיון עם אחרים על איך לשפר את הדף חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים.

להתחיל דיון