הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים בדידים/התפלגות פואסון

• משתנים מקריים/משתנים מקריים בדידים
  • התפלגות יוניפורמית
  • התפלגות ברנולי
  • התפלגות בינומית
  • התפלגות גאומטרית
  • התפלגות בינומית שלילית
  • התפלגות פואסון

הגדרה

אינטואיטיבית, התפלגות זאת היא קירוב של התפלגות בינומית, המופיעה לעתים קרובות בטבע.

הגדרה: התפלגות פואסון נניח מ"מ $X$ אשר מקבל ערך $k$ בהסתברות ${\mathbb{P}}_X(k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$. אז ל-$X$ פואסון. נרשום $X\sim Pois(\lambda )$.

פואסוני: $X\sim Pois(\lambda )$

פונקצית התפלגות
פונקצית צפיפות
פרמטרים	$\lambda \in (0,\mathrm{\infty })$
תומך	$k\in \{0,1,2,\mathrm{...}\}$
פונקצית התפלגות	$\frac{\mathrm{\Gamma }(k+1,\lambda )}{k!}$
פונקצית צפיפות	${\mathbb{P}}_X(x)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$
תוחלת	$\lambda$
חציון
שונות	$\lambda$
פונקציה יוצרת מומנטים	$e^{\lambda (e^s-1)}$
פונקציה אופיינית	$e^{\lambda (e^{is}-1)}$

מוטיבציה

בהתפלגות בינומית, ראינו כי בניסויי ברנולי, הסיכוי להצלחת $k$ ניסויים מתוך $n$, כאשר הסיכוי להצלחה יחידה הוא $p$, הנו

$\mathbb{P}(x=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$

בעטי הפונקציה הקומבינטורית $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$, מדובר בפונקציה לא נוחה לשימוש.

השוואה בין התפלגות בינומית להתפלגויות פואסון המקרבות אותה.

במציאות, ישנם מצבים רבים בהם $n$ ו-$p$ במידה שמכפלתם, $np$, היא בינונית בגודלה. במקרים אלה, נראה שאפשר לשערך את הביטוי

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-k}\simeq \frac{{\left(pn\right)}^k{e}^{-pn}}{k!}$

בתרשים התחתון משמאל לדוגמה, הנקודות השחורות מתארות התפלגות פואסון עם $n=1000,\lambda =5$.

הקו האדום מתאר התפלגות בינומית עם $n=10,p=0.005$,

הקו הכחול מתאר התפלגות בינומית עם $n=20,p=0.005$,

והקו הירוק מתאר התפלגות בינומית עם $n=1000,p=0.005$,

משפט: קירוב פואסון עבור $\lambda$ קבועה, אם $X_n\sim \text{B}(n,\lambda /n);Y\sim \text{Pois}(\lambda ).$ אז עבוכ כל $k$ קבוע, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P(X_n=k)=P(Y=k)$.

הוכחה: ראשית, מחדו"א, אנו יודעים כי $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1-\frac{\lambda }{n})}^n=e^{-\lambda },$ אז, היות שכאן $p=\lambda /n$ במקרה זה, נקבל

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P(X_n=k)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n!}{(n-k)!k!}{\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^k{(1-\frac{\lambda }{n})}^{n-k}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{A_n}{\underbrace{\left[\frac{n!}{n^k(n-k)!}\right]}}\left(\frac{{\lambda }^k}{k!}\right)\underset{\to \exp (-\lambda )}{\underbrace{{(1-\frac{\lambda }{n})}^n}}\underset{\to 1}{\underbrace{{(1-\frac{\lambda }{n})}^{-k}}}\\ & =\left[\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n\right]\left(\frac{{\lambda }^k}{k!}\right)\exp (-\lambda )\end{array}$

כעת נשים לב כי

$\begin{array}{cc}{A}_n& =\frac{n!}{n^k(n-k)!}\\ & =\frac{n\cdot (n-1)\cdots (n-(k-1))}{n^k}\\ & =1\cdot (1-\frac{1}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})\\ & \to 1\cdot 1\cdots 1=1,\end{array}$

כאשר לוקחים את הגבול של כל אחד מ-$k$ האיברים בנפרד (מותר לעשות כך, מפני שמספרם סופי).

מכאן קיבלנו $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P(X_n=k)=\frac{{\lambda }^k\exp (-\lambda )}{k!}=P(Y=k)$.

דוגמאות

• מספר האלקטרונים הנפלטים בפרק זמן כלשהו מקתודה, מהווה בקירוב טוב מ"מ פואסוני. נגדיר את X כמספר האלקטרונים הנפלטים במשך שעה בעל התפלגות פואסונית עם פרמטר λ=3.

• מהי ההסתברות שבמשך שעה נפלט אלקטרון אחד בלבד? נשתמש בהגדרת פונקצית ההסתברות הפואסונית:

$\mathbb{P}(X=k)=e^{-3}\frac{3^k}{k!}\Rightarrow \mathbb{P}(X=1)=3e^{-3}\approx 0.15$

• מהי ההסתברות שבמשך שעה נפלט לפחות אלקטרון אחד? נשתמש בשיטת המשלים:

$\mathbb{P}(X\ge 1)=1-\mathbb{P}(X<1)=1-\mathbb{P}(X=0)=1-e^{-3}=\frac{e^3-1}{e^3}\approx 0.95$

• מהי ההסתברות שבמשך שעה נפלטו לכל היותר 2 אלקטרונים? זהו סכום של מאורעות זרים:

$\mathbb{P}(X\le 2)=\sum _{k=0}^2\mathbb{P}(X=k)=e^{-3}(\frac{3^0}{0!}+\frac{3^1}{1!}+\frac{3^2}{2!})=\frac{17}{2e^3}\approx 0.42$

ראו גם

ערך בוויקיפדיה: התפלגות פואסון

-

התפלגות פואסון

-