הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים בדידים/התפלגות פואסון

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הגדרה[עריכה]

אינטואיטיבית, התפלגות זאת היא קירוב של התפלגות בינומית, המופיעה לעתים קרובות בטבע.


הגדרה: התפלגות פואסון

נניח מ"מ אשר מקבל ערך בהסתברות

. אז ל- פואסון.

נרשום .

פואסוני:
פונקצית התפלגות
Poisson distribution CMF.png
פונקצית צפיפות
Poisson distribution PMF.png
פרמטרים
תומך
פונקצית התפלגות
פונקצית צפיפות
תוחלת
חציון
שונות
פונקציה יוצרת מומנטים
פונקציה אופיינית


מוטיבציה[עריכה]

בהתפלגות בינומית, ראינו כי בניסויי ברנולי, הסיכוי להצלחת ניסויים מתוך , כאשר הסיכוי להצלחה יחידה הוא , הנו

בעטי הפונקציה הקומבינטורית , מדובר בפונקציה לא נוחה לשימוש.

השוואה בין התפלגות בינומית להתפלגויות פואסון המקרבות אותה.

במציאות, ישנם מצבים רבים בהם ו- במידה שמכפלתם, , היא בינונית בגודלה. במקרים אלה, נראה שאפשר לשערך את הביטוי

בתרשים התחתון משמאל לדוגמה, הנקודות השחורות מתארות התפלגות פואסון עם . הקו האדום מתאר התפלגות בינומית עם , הקו הכחול מתאר התפלגות בינומית עם , והקו הירוק מתאר התפלגות בינומית עם ,



משפט: קירוב פואסון

עבור קבועה, אם

אז עבוכ כל קבוע,

.


הוכחה: ראשית, מחדו"א, אנו יודעים כי אז, היות שכאן במקרה זה, נקבל

כעת נשים לב כי


כאשר לוקחים את הגבול של כל אחד מ- האיברים בנפרד (מותר לעשות כך, מפני שמספרם סופי).

מכאן קיבלנו .

מש"ל.PNG

דוגמאות[עריכה]

  • מספר האלקטרונים הנפלטים בפרק זמן כלשהו מקתודה, מהווה בקירוב טוב מ"מ פואסוני. נגדיר את X כמספר האלקטרונים הנפלטים במשך שעה בעל התפלגות פואסונית עם פרמטר λ=3.
  • מהי ההסתברות שבמשך שעה נפלט אלקטרון אחד בלבד? נשתמש בהגדרת פונקצית ההסתברות הפואסונית:
  • מהי ההסתברות שבמשך שעה נפלט לפחות אלקטרון אחד? נשתמש בשיטת המשלים:
  • מהי ההסתברות שבמשך שעה נפלטו לכל היותר 2 אלקטרונים? זהו סכום של מאורעות זרים:

ראו גם[עריכה]


- התפלגות פואסון -