אינטואיטיבית, התפלגות זאת היא קירוב של התפלגות בינומית , המופיעה לעתים קרובות בטבע.
הגדרה: התפלגות פואסון
נניח מ"מ
X
{\displaystyle X}
k
{\displaystyle k}
P
X
(
k
)
=
λ
k
e
−
λ
k
!
{\displaystyle \mathbb {P} _{X}(k)={\lambda ^{k}e^{-\lambda } \over k!}}
X
{\displaystyle X}
פואסון .
נרשום
X
∼
P
o
i
s
(
λ
)
{\displaystyle X\sim Pois(\lambda )}
פואסוני:
X
∼
P
o
i
s
(
λ
)
{\displaystyle \ X\sim Pois(\lambda )}
פונקצית התפלגות
פונקצית צפיפות
פרמטרים
λ
∈
(
0
,
∞
)
{\displaystyle \ \lambda \in (0,\infty )}
תומך
k
∈
{
0
,
1
,
2
,
.
.
.
}
{\displaystyle \ k\in \{0,1,2,...\}}
פונקצית התפלגות
Γ
(
k
+
1
,
λ
)
k
!
{\displaystyle {\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!}}\!}
פונקצית צפיפות
P
X
(
x
)
=
λ
k
k
!
e
−
λ
{\displaystyle \ \mathbb {P} _{X}(x)={\lambda ^{k} \over k!}e^{-\lambda }}
תוחלת
λ
{\displaystyle \ \lambda }
חציון
שונות
λ
{\displaystyle \ \lambda }
פונקציה יוצרת מומנטים
e
λ
(
e
s
−
1
)
{\displaystyle \ e^{\lambda (e^{s}-1)}}
פונקציה אופיינית
e
λ
(
e
i
s
−
1
)
{\displaystyle \ e^{\lambda (e^{is}-1)}}
בהתפלגות בינומית , ראינו כי בניסויי ברנולי , הסיכוי להצלחת
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle n}
p
{\displaystyle p}
P
(
x
=
k
)
=
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
{\displaystyle \ \mathbb {P} (x=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}
בעטי הפונקציה הקומבינטורית
(
n
k
)
{\displaystyle {n \choose k}}
השוואה בין התפלגות בינומית להתפלגויות פואסון המקרבות אותה. במציאות, ישנם מצבים רבים בהם
n
{\displaystyle n}
p
{\displaystyle p}
n
p
{\displaystyle np}
(
n
k
)
p
k
q
n
−
k
≃
(
p
n
)
k
e
−
p
n
k
!
{\displaystyle {n \choose k}p^{k}q^{n-k}\simeq {\left({pn}\right)^{k}e^{-pn} \over k!}}
בתרשים התחתון משמאל לדוגמה, הנקודות השחורות מתארות התפלגות פואסון עם
n
=
1000
,
λ
=
5
{\displaystyle n=1000,\lambda =5}
הקו האדום מתאר התפלגות בינומית עם
n
=
10
,
p
=
0.005
{\displaystyle n=10,p=0.005}
הקו הכחול מתאר התפלגות בינומית עם
n
=
20
,
p
=
0.005
{\displaystyle n=20,p=0.005}
והקו הירוק מתאר התפלגות בינומית עם
n
=
1000
,
p
=
0.005
{\displaystyle n=1000,p=0.005}
משפט: קירוב פואסון
עבור
λ
{\displaystyle \lambda }
X
n
∼
B
(
n
,
λ
/
n
)
;
Y
∼
Pois
(
λ
)
.
{\displaystyle X_{n}\sim {\textrm {B}}(n,\lambda /n);\qquad Y\sim {\textrm {Pois}}(\lambda ).\,}
אז עבוכ כל
k
{\displaystyle k}
lim
n
→
∞
P
(
X
n
=
k
)
=
P
(
Y
=
k
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(X_{n}=k)=P(Y=k)}
הוכחה: ראשית, מחדו"א , אנו יודעים כי
lim
n
→
∞
(
1
−
λ
n
)
n
=
e
−
λ
,
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n}=e^{-\lambda },}
p
=
λ
/
n
{\displaystyle p=\lambda /n}
lim
n
→
∞
P
(
X
n
=
k
)
=
lim
n
→
∞
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
=
lim
n
→
∞
n
!
(
n
−
k
)
!
k
!
(
λ
n
)
k
(
1
−
λ
n
)
n
−
k
=
lim
n
→
∞
[
n
!
n
k
(
n
−
k
)
!
]
⏟
A
n
(
λ
k
k
!
)
(
1
−
λ
n
)
n
⏟
→
exp
(
−
λ
)
(
1
−
λ
n
)
−
k
⏟
→
1
=
[
lim
n
→
∞
A
n
]
(
λ
k
k
!
)
exp
(
−
λ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }P(X_{n}=k)&=\lim _{n\to \infty }{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{n! \over (n-k)!k!}\left({\lambda \over n}\right)^{k}\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }\underbrace {\left[{\frac {n!}{n^{k}\left(n-k\right)!}}\right]} _{A_{n}}\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to \exp \left(-\lambda \right)}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&=\left[\lim _{n\to \infty }A_{n}\right]\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\exp \left(-\lambda \right)\end{aligned}}}
כעת נשים לב כי
A
n
=
n
!
n
k
(
n
−
k
)
!
=
n
⋅
(
n
−
1
)
⋯
(
n
−
(
k
−
1
)
)
n
k
=
1
⋅
(
1
−
1
n
)
⋯
(
1
−
k
−
1
n
)
→
1
⋅
1
⋯
1
=
1
,
{\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {n!}{n^{k}\left(n-k\right)!}}\\&={\frac {n\cdot (n-1)\cdots {\big (}n-(k-1){\big )}}{n^{k}}}\\&=1\cdot (1-{\tfrac {1}{n}})\cdots (1-{\tfrac {k-1}{n}})\\&\to 1\cdot 1\cdots 1=1,\end{aligned}}}
כאשר לוקחים את הגבול של כל אחד מ-
k
{\displaystyle k}
מכאן קיבלנו
lim
n
→
∞
P
(
X
n
=
k
)
=
λ
k
exp
(
−
λ
)
k
!
=
P
(
Y
=
k
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(X_{n}=k)={\frac {\lambda ^{k}\exp \left(-\lambda \right)}{k!}}=P(Y=k)}
מספר האלקטרונים הנפלטים בפרק זמן כלשהו מקתודה, מהווה בקירוב טוב מ"מ פואסוני. נגדיר את X כמספר האלקטרונים הנפלטים במשך שעה בעל התפלגות פואסונית עם פרמטר λ=3. מהי ההסתברות שבמשך שעה נפלט אלקטרון אחד בלבד ? נשתמש בהגדרת פונקצית ההסתברות הפואסונית:
P
(
X
=
k
)
=
e
−
3
3
k
k
!
⇒
P
(
X
=
1
)
=
3
e
−
3
≈
0.15
{\displaystyle \ \mathbb {P} (X=k)=e^{-3}{3^{k} \over k!}\ \Rightarrow \ \mathbb {P} (X=1)=3e^{-3}\approx 0.15}
מהי ההסתברות שבמשך שעה נפלט לפחות אלקטרון אחד? נשתמש בשיטת המשלים:
P
(
X
≥
1
)
=
1
−
P
(
X
<
1
)
=
1
−
P
(
X
=
0
)
=
1
−
e
−
3
=
e
3
−
1
e
3
≈
0.95
{\displaystyle \ \mathbb {P} (X\geq 1)=1-\mathbb {P} (X<1)=1-\mathbb {P} (X=0)=1-e^{-3}={e^{3}-1 \over e^{3}}\approx 0.95}
מהי ההסתברות שבמשך שעה נפלטו לכל היותר 2 אלקטרונים? זהו סכום של מאורעות זרים:
P
(
X
≤
2
)
=
∑
k
=
0
2
P
(
X
=
k
)
=
e
−
3
(
3
0
0
!
+
3
1
1
!
+
3
2
2
!
)
=
17
2
e
3
≈
0.42
{\displaystyle \ \mathbb {P} (X\leq 2)=\sum \limits _{k=0}^{2}\mathbb {P} (X=k)=e^{-3}\left({3^{0} \over 0!}+{3^{1} \over 1!}+{3^{2} \over 2!}\right)={17 \over 2e^{3}}\approx 0.42}
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }P(X_{n}=k)&=\lim _{n\to \infty }{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{n! \over (n-k)!k!}\left({\lambda \over n}\right)^{k}\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }\underbrace {\left[{\frac {n!}{n^{k}\left(n-k\right)!}}\right]} _{A_{n}}\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to \exp \left(-\lambda \right)}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&=\left[\lim _{n\to \infty }A_{n}\right]\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\exp \left(-\lambda \right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b67ea14fa12d1633b4f8a495960becf127751f7)
