מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
אינטואיטיבית, ההתפלגות מתארת את הסיכוי להצליח בפעם הראשונה בניסוי ה-
k
{\displaystyle k}
ניסויי ברנולי (בלתי תלויים), כשלכ"א מהם הצלחה בסיכוי
p
{\displaystyle p}
q
=
1
−
p
{\displaystyle q=1-p}
הגדרה: התפלגות גאומטרית
נניח מ"מ
X
{\displaystyle X}
k
{\displaystyle k}
P
X
(
k
)
=
p
q
k
−
1
{\displaystyle \mathbb {P} _{X}(k)=pq^{k-1}}
X
{\displaystyle X}
התפלגות גאומטרית .
נרשום
X
∼
G
e
o
(
n
,
p
)
{\displaystyle X\sim Geo(n,p)}
ראינו את החישוב בהסיכוי להצלחה ראשונה בניסוי כלשהו .
גאומטרי:
X
∼
G
e
o
m
(
p
)
{\displaystyle \ X\sim Geom(p)}
פונקצית התפלגות
פונקצית צפיפות
פרמטרים
0
<
p
≤
1
{\displaystyle \ 0<p\leq 1}
תומך
k
∈
0
,
1
,
.
.
.
∞
{\displaystyle \ k\in {0,1,...\infty }}
פונקצית התפלגות
1
−
q
k
{\displaystyle \ 1-q^{k}}
פונקצית צפיפות
P
X
(
k
)
=
p
q
k
−
1
{\displaystyle \ \mathbb {P} _{X}(k)=pq^{k-1}}
תוחלת
1
p
{\displaystyle \ 1 \over p}
חציון
1
p
{\displaystyle \ 1 \over p}
שונות
q
p
2
{\displaystyle \ q \over p^{2}}
פונקציה יוצרת מומנטים
p
e
s
1
−
(
1
−
p
)
e
s
{\displaystyle \ {\frac {pe^{s}}{1-(1-p)e^{s}}}}
פונקציה אופיינית
1
−
q
1
−
q
e
i
s
{\displaystyle \ {\frac {1-q}{1-qe^{is}}}}
המשתנה המקרי הגאומטרי הוא המ"מ הבדיד היחיד עם תכונת חוסר הזכרון : אם ההצלחה הראשונה לא ארעה בניסוי בניסוי ה-
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
n
+
k
{\displaystyle n+k}
k
{\displaystyle k}
הוכחה: נגדיר את
X
{\displaystyle X}
P
(
X
=
n
+
k
|
X
>
n
)
=
P
(
X
=
n
+
k
∩
X
>
n
)
P
(
X
>
n
)
{\displaystyle \ \mathbb {P} (X=n+k|X>n)={\mathbb {P} (X=n+k\cap X>n) \over \mathbb {P} (X>n)}}
אבל המאורע
X
=
n
+
k
{\displaystyle X=n+k}
X
>
n
{\displaystyle X>n}
P
(
X
=
n
+
k
|
X
>
n
)
=
P
(
X
=
n
+
k
)
P
(
X
>
n
)
=
q
n
+
k
−
1
p
q
n
=
q
k
−
1
p
=
P
(
x
=
k
)
{\displaystyle \mathbb {P} (X=n+k|X>n)={\mathbb {P} (X=n+k) \over \mathbb {P} (X>n)}={q^{n+k-1}p \over q^{n}}=q^{k-1}p=\mathbb {P} (x=k)}
