מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
אינטואיטיבית, ההתפלגות מתארת את הסיכוי להכשל בפעם ה-
r
{\displaystyle r}
r
+
k
{\displaystyle r+k}
ניסויי ברנולי (בלתי תלויים), כשלכ"א מהם הצלחה בסיכוי
p
{\displaystyle p}
q
=
1
−
p
{\displaystyle q=1-p}
r
{\displaystyle r}
הגדרה: התפלגות בינומית שלילית (התפלגות פסקל)
נניח מ"מ
X
{\displaystyle X}
k
{\displaystyle k}
P
X
(
k
)
=
(
k
+
r
−
1
k
)
p
k
q
r
{\displaystyle \mathbb {P} _{X}(k)={k+r-1 \choose k}p^{k}q^{r}}
X
{\displaystyle X}
התפלגות בינומית שלילית .
נרשום
X
∼
N
B
(
r
,
p
)
{\displaystyle X\sim NB(r,p)}
בינומי שלילי:
X
∼
N
B
(
p
,
r
)
{\displaystyle \ X\sim NB(p,r)}
פונקצית התפלגות
פונקצית צפיפות
פרמטרים
r
>
0
,
p
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle \ r>0\ ,\ p\in (0,1)}
תומך
k
∈
{
0
,
1
,
.
.
.
∞
}
{\displaystyle \ k\in \{0,1,...\infty \}}
פונקצית התפלגות
?
פונקצית צפיפות
(
k
+
r
−
1
k
)
p
r
q
k
=
{\displaystyle \ {k+r-1 \choose k}p^{r}q^{k}=}
=
(
−
r
k
)
p
r
(
−
q
)
k
{\displaystyle \ ={-r \choose k}p^{r}(-q)^{k}}
תוחלת
r
p
{\displaystyle \ {\frac {r}{p}}}
חציון
שונות
r
q
p
2
{\displaystyle \ r{\frac {q}{p^{2}}}}
פונקציה יוצרת מומנטים
(
p
1
−
q
e
s
)
r
{\displaystyle \ \left({\frac {p}{1-qe^{s}}}\right)^{r}}
פונקציה אופיינית
(
p
1
−
q
e
i
s
)
r
{\displaystyle \ \left({\frac {p}{1-qe^{is}}}\right)^{r}}
ההסבר האינטואיטיבי לעיל מתאים רק עבור ערכי
r
{\displaystyle r}
r
{\displaystyle r}
הגדרה: התפלגות פוליה
נניח מ"מ
X
{\displaystyle X}
k
{\displaystyle k}
P
X
(
k
)
=
Γ
(
k
+
1
)
k
!
Γ
(
r
)
p
k
q
r
{\displaystyle \mathbb {P} _{X}(k)={\Gamma (k+1) \over k!\Gamma (r)}p^{k}q^{r}}
X
{\displaystyle X}
התפלגות פוליה .
גם כאן נרשום
X
∼
N
B
(
r
,
p
)
{\displaystyle X\sim NB(r,p)}
כאשר
Γ
(
⋅
)
{\displaystyle \Gamma (\cdot )}
פונקציית הגאמא . אפשר לראות שכאשר
r
{\displaystyle r}
-
התפלגות בינומית שלילית -
התוחלת איננה qr/p כפי שכתוב אלא r/p
ניתן לשים לב שגרם בערך באנגלית יש סתירה, כתוב שם pr/q
