מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/משולשים

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תכונות המשותפות לכל המשולשים: זוויות וצלעות[עריכה]

משולשים שווי שוקיים[עריכה]

משולש שווה צלעות[עריכה]

הגדרה: משולש שווה צלעות הוא משולש שכל שלוש צלעותיו שוות באורכן ולכן כל הזוויות שוות ל-60 מעלות.



משולש ישר זווית[עריכה]

הגדרה: משולש ישר זווית הוא משולש שאחת מזוויותיו שווה ל90 מעלות. הצלע מול הזווית בעלת 90 מעלות (הזווית הישרה) נקראת יתר, ושתי הצלעות האחרות נקראות ניצבים.

  • היחס בין הניצב מול זווית מסויימת לבין הניצב השני הוא קבוע לאותה זווית ונקרא "טנגנס הזווית".
  • היחס בין הניצב מול זווית מסויימת לבין היתר הוא קבוע לאותה זווית ונקרא "סינוס הזווית".
  • היחס בין הניצב הצמוד לזווית מסויימת לבין היתר הוא קבוע לאותה זווית ונקרא "קוסינוס הזווית".
  • במשולש ישר זווית שזוויותיו החדות הן 30 ו-60 הניצב שמול ה-30 שווה למחצית היתר. משולש זה ניקרא גם משולש זהב
  • אם במשולש ישר זווית אחד הניצבים שווה למחצית היתר, אז הזווית שמול הניצב שווה 30 מעלות.
  • במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
  • משולש שבו אחד התיכונים שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, הוא משולש ישר זווית. והצלע אותה הוא חוצה היא היתר.
  • הניצב במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגיאומטרי של היתר והיטלו של ניצב זה על היתר.
  • אם הגובה לאחת הצלעות במשולש הוא הממוצע הגיאומטרי של היטלי שתי הצלעות האחרות על צלע זאת אז המשולש ישר זווית.
  • בכל משולש ישר זווית סכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. (משפט פיתגורס)

משפטי חפיפה[עריכה]

שים לב: משפטי החפיפה נובעים כולם מחוק דמיון משולשים.

הגדרה: משולש חופף למשולש אחר כאשר כל צלעותיהם וכל זוויותיהם שוות בהתאמה.

דמיון משולשים (וחוקים הנובעים ממנו)[עריכה]

כדי להוכיח דמיון משולשים די להוכיח כי:

דמיון בין שני משולשים מכנה יחס פרופורציוני לצלעות ולזוויות:


קטע אמצעים במשולש[עריכה]

הגדרה: קטע אמצעים במשולש הוא קטע העובר בין אמצעי שתי צלעות במשולש כאשר:

  • קטע אמצעים במשולש חוצה את שתי הצלעות שהוא חותך.
  • קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע שאותה אינו חותך.
  • קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שאותה אינו חותך.

הוכחה:

קטע אמצעי במשולש:

  • ישר המקביל לצלע של משולש וחוצה צלע אחרת, בהכרח עובר גם דרך אמצע הצלע השלישית, כלומר, הוא קטע אמצעים.
  • קטע אמצעים המחבר את השוקיים - חוצה את הגובה לבסיס .
  • קטע אמצעים במשולש עובר בהכרח דרך אמצע כל קטע המחבר בין הקדקוד שמחבר את הצלעות שהוא חוצה לבין הצלע לה הוא מקביל, וחותך את שטח המשולש למשולש קטן וטרפז ביחס 1:3.
  • [[/קטע אמצעים במשולש מחלק אותו למשולש ולטרפז כך ששטח הטרפז גדול פי 3 משטח המשולש שנוצר/]] (לא לציטוט בבגרות)

פרופורציה[עריכה]

  • כל שני תיכונים במשולש מחלקים זה את זה לשני קטעים כך שהקטע הקרוב לקודקוד גדול פי שניים מהקטע הקרוב לצלע.
  • חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין הצלעות הכולאות את הזווית.
  • קטע המחבר קודקוד במשולש עם הצלע שמולו ומחלק אותה לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין שתי הצלעות האחרות- חוצה את זווית המשולש.
  • ישר המקביל לצלע של משולש חותך ממנו משולש הדומה לו.
  • כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע.
  • כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע נמצאת על האנך האמצעי.
  • שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים.
  • שני ישרים המקצים על שוקי הזווית קטעים פרופורציוניים מקבילים זה לזה.
  • כל נקודה הנמצאת על במרחקים שווים משוקי הזווית נמצאת על חוצה הזווית
  • כל נקודה הנמצאת על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית.
  • כל נקודה על אנך לקטע היוצא ממרכזו נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע.
  • כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע נמצאת על האנך היוצא ממרכזו.
  • כל נקודה הנמצאת על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית.

מפגש התיכונים[עריכה]

נקודת מפגש התיכונים נקראת גם בשם מרכז הכובד

  • כל שני תיכונים במשולש מחלקים זה את זה לשני קטעים כך שחלק אחד של התיכון (הקרוב לקדקוד) גדול פי שניים מהחלק השני.
  • במשולש כל שני תיכונים מחלקים זה את זה, כך שחלק התיכון הקרוב לקדקוד מהוו מהתיכון (כולו), והחלק הקרוב לצלע מהווה מהתיכון כולו.
  • [[/שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת ומחלקים זה את זה כך שחלק אחד של התיכון (הקרוב לקדקוד) גדול פי שניים מהחלק השני/]].

מפגש הגבהים[עריכה]

משפט פיתגורס[עריכה]

היטל[עריכה]

מעגל חוסם משולש[עריכה]

היטל[עריכה]

  • אם היטלו של משופע אחד גדול מהיטלו של משופע שני אז המשופע הראשון גדול מהמשופע השני.
  • בתבניות ניתן להציב גודל מסוים במקום גודל השווה לו.