מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/משולשים
תכונות המשותפות לכל המשולשים: זוויות וצלעות
[עריכה]- סכום זויות במשולש הוא 180 מעלות.
- זוית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזויות הפנימיות שאינן צמודות לה
- מול הזווית הגדולה במשולש, מונחת הצלע הגדולה במשולש ולהיפך
- סכום שתי צלעות במשולש גדול מצלע שלישית.
- במשולש (שאינו שווה צלעות), אם צלע גדולה מצלע שנייה אז הזווית שמול הצלע הגדולה, גדולה יותר מהזווית שמול הצלע הקטנה
- תיכון במשולש מחלק אותו לשני משולשים שווי שטח (לא לציטוט בבגרות)
- [[/קטע במשולש היורד מקודקוד אל הצלע שמולו ומחלק אותה ביחס של a:b מחלק גם את המשולש לשני משולשים שהיחס בין שטחם הוא a:b/]] (לא לציטוט בבגרות)
- [[/קטע במשולש היורד מקודקוד אל הצלע שמולו ומחלק את המשולש לשני משולשים בעלי שטחים שווים הוא תיכון במשולש/]] (לא לציטוט בבגרות)
- [[/אם במשולש תיכון עובר דרך מקביל המקביל לצלע אותה חוצה התיכון, אז התיכון בהכרח חוצה גם את המקביל לצלע/]](לא לציטוט בבגרות)
- חוצה זווית (פנימית או חיצונית) במשולש, מחלק את הצלע בה הוא פוגע (או המשכה) ביחס שווה ליחס בין שוקי הזווית
- הפוך:אם ישר יוצא מקודקוד של משולש לעבר הצלע ממול ומחלק אותה ביחס שווה ליחס בין הצלעות, אז אותו ישר הוא חוצה זווית.
משולשים שווי שוקיים
[עריכה]- אם משולש שווה שוקים אז זוויות הבסיס שוות
- מול צלעות שוות במשולש זוויות שוות
- הגדרה: במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים.
- אם במשולש חוצה זווית הראש מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים.
- אם במשולש חוצה זווית הראש הוא גם גובה לבסיס אזי המשולש הוא שווה שוקיים (הוכחה זהה לאם במשולש חוצה זווית הראש מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים)
- אם במשולש חוצה זווית הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים.
- אם במשולש גובה הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים.
- במשולש שווה שוקיים מרכז הבסיס נמצא במרחקים שווים מהשוקיים.
- אם במשולש קיימים שני חוצי זוויות שווים אזי המשולש שווה שוקיים
- אם במשולש שני גבהים שווים זה לזה, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות
משולש שווה צלעות
[עריכה]הגדרה: משולש שווה צלעות הוא משולש שכל שלוש צלעותיו שוות באורכן ולכן כל הזוויות שוות ל-60 מעלות.
- משולש ששתיים מזוויותיו שוות 60 מעלות הוא משולש שווה צלעות.
- משולש ששתיים מצלעותיו שוות וזווית אחת שלו שווה 60 מעלות הוא משולש שווה צלעות.
- משולש שווה צלעות הוא גם משולש שווה שוקיים ולכן כל חוקיו של משולש שווה שוקיים חלים גם על משולש שווה צלעות, כאשר כל אחת מצלעות המשולש יכולה לשמש כבסיס.
- אם משולש שווה שוקים אז זוויות הבסיס שוות
- מול צלעות שוות במשולש זוויות שוות
- הגדרה: במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים.
- אם במשולש חוצה זווית הראש מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים.
- אם במשולש חוצה זווית הראש הוא גם גובה לבסיס אזי המשולש הוא שווה שוקיים (הוכחה זהה לאם במשולש חוצה זווית הראש מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים)
- אם במשולש חוצה זווית הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים.
- אם במשולש גובה הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים.
- במשולש שווה שוקיים מרכז הבסיס נמצא במרחקים שווים מהשוקיים.
- אם במשולש קיימים שני חוצי זוויות שווים אזי המשולש שווה שוקיים
- אם במשולש שני גבהים שווים זה לזה, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות
משולש ישר זווית
[עריכה]הגדרה: משולש ישר זווית הוא משולש שאחת מזוויותיו שווה ל90 מעלות. הצלע מול הזווית בעלת 90 מעלות (הזווית הישרה) נקראת יתר, ושתי הצלעות האחרות נקראות ניצבים.
- היחס בין הניצב מול זווית מסויימת לבין הניצב השני הוא קבוע לאותה זווית ונקרא "טנגנס הזווית".
- היחס בין הניצב מול זווית מסויימת לבין היתר הוא קבוע לאותה זווית ונקרא "סינוס הזווית".
- היחס בין הניצב הצמוד לזווית מסויימת לבין היתר הוא קבוע לאותה זווית ונקרא "קוסינוס הזווית".
- במשולש ישר זווית שזוויותיו החדות הן 30 ו-60 הניצב שמול ה-30 שווה למחצית היתר. משולש זה ניקרא גם משולש זהב
- אם במשולש ישר זווית אחד הניצבים שווה למחצית היתר, אז הזווית שמול הניצב שווה 30 מעלות.
- במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
- משולש שבו אחד התיכונים שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, הוא משולש ישר זווית. והצלע אותה הוא חוצה היא היתר.
- הניצב במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגיאומטרי של היתר והיטלו של ניצב זה על היתר.
- אם הגובה לאחת הצלעות במשולש הוא הממוצע הגיאומטרי של היטלי שתי הצלעות האחרות על צלע זאת אז המשולש ישר זווית.
- בכל משולש ישר זווית סכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. (משפט פיתגורס)
משפטי חפיפה
[עריכה]שים לב: משפטי החפיפה נובעים כולם מחוק דמיון משולשים.
הגדרה: משולש חופף למשולש אחר כאשר כל צלעותיהם וכל זוויותיהם שוות בהתאמה.
- אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שכלואה ביניהן המשולשים חופפים. (משפט חפיפה צ.ז.צ)
- אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן המשולשים חופפים. (משפט חפיפה ז.צ.ז.)
- [[/אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן המשולשים חופפים/]]. (משפט חפיפה צ.צ.ז)
- אם בשני משולשים שוות בהתאמה שלוש צלעות המשולשים חופפים. (משפט חפיפה צ.צ.צ)
- במשולשים חופפים מול צלעות שוות זוויות שוות
- במשולשים חופפים מול זוויות שוות צלעות שוות
- צלעות מתאימות במשולשים חופפים (צמב"ח)
- זוויות מתאימות במשולשים חופפים
דמיון משולשים (וחוקים הנובעים ממנו)
[עריכה]כדי להוכיח דמיון משולשים די להוכיח כי:
- שתי זוויות שוות בהתאמה - אם שתי זווית במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז הזווית השלישית שווה.
- יש יחס שווה בין שלושת הצלעות במשולש אחד לשלושת הצלעות במשולש שני.
- [[/קיים יחס שווה בין שני זוגות צלעות בשני המשולשים והזווית בין הצלעות האלה שווה בשני המשולשים/]].
- [[/אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שני זוגות של צלעות מתאימות והזוויות שמול הצלע הגדולה מהשתיים שוות בהתאמה אז המשולשים דומים/]].
דמיון בין שני משולשים מכנה יחס פרופורציוני לצלעות ולזוויות:
- גבהים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
- חוצי זוויות מתאימות במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
- תיכונים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
- ההיקפים של משולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
- היחס בין שטחי משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדימיון שבין הצלעות המתאימות.
- [[/הגובה ליתר במשולש ישר זווית מחלק את המשולש לשני משולשים דומים שכל אחד דומה למשולש המקורי/]] (מכאן המשפט : במשולש ישר זווית שזוויותיו החדות הן 30 ו-60 הניצב שמול ה-30 שווה למחצית היתר.)
- הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגאומטרי של היטלי הניצבים על היתר.
קטע אמצעים במשולש
[עריכה]הגדרה: קטע אמצעים במשולש הוא קטע העובר בין אמצעי שתי צלעות במשולש כאשר:
- קטע אמצעים במשולש חוצה את שתי הצלעות שהוא חותך.
- קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע שאותה אינו חותך.
- קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שאותה אינו חותך.
הוכחה:
- קטע היוצא מאמצע צלע אחת ומגיע לאמצע צלע אחרת במשולש הוא קטע אמצעים עפ"י הגדרתו.
- אם קטע במשולש חוצה צלע אחת ומקביל לצלע אחרת, הוא קטע אמצעים.
- קטע המקביל לאחת הצלעות במשולש ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים במשולש.
- קטע אמצעים במשולש.
- אם נעביר קטע אמצעים במשולש, כל קטע שנעביר מהקדקוד של שתי הצלעות הנחצות לצלע השלישית יצור שני משולשים שחלקי קטע האמצעים במשולש הגדול יהוו קטע אמצעים בהם.
קטע אמצעי במשולש:
- ישר המקביל לצלע של משולש וחוצה צלע אחרת, בהכרח עובר גם דרך אמצע הצלע השלישית, כלומר, הוא קטע אמצעים.
- קטע אמצעים המחבר את השוקיים - חוצה את הגובה לבסיס .
- קטע אמצעים במשולש עובר בהכרח דרך אמצע כל קטע המחבר בין הקדקוד שמחבר את הצלעות שהוא חוצה לבין הצלע לה הוא מקביל, וחותך את שטח המשולש למשולש קטן וטרפז ביחס 1:3.
- [[/קטע אמצעים במשולש מחלק אותו למשולש ולטרפז כך ששטח הטרפז גדול פי 3 משטח המשולש שנוצר/]] (לא לציטוט בבגרות)
פרופורציה
[עריכה]- כל שני תיכונים במשולש מחלקים זה את זה לשני קטעים כך שהקטע הקרוב לקודקוד גדול פי שניים מהקטע הקרוב לצלע.
- חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין הצלעות הכולאות את הזווית.
- קטע המחבר קודקוד במשולש עם הצלע שמולו ומחלק אותה לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין שתי הצלעות האחרות- חוצה את זווית המשולש.
- ישר המקביל לצלע של משולש חותך ממנו משולש הדומה לו.
- כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע.
- כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע נמצאת על האנך האמצעי.
- שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים.
- שני ישרים המקצים על שוקי הזווית קטעים פרופורציוניים מקבילים זה לזה.
- כל נקודה הנמצאת על במרחקים שווים משוקי הזווית נמצאת על חוצה הזווית
- כל נקודה הנמצאת על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית.
- כל נקודה על אנך לקטע היוצא ממרכזו נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע.
- כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע נמצאת על האנך היוצא ממרכזו.
- כל נקודה הנמצאת על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית.
מפגש התיכונים
[עריכה]נקודת מפגש התיכונים נקראת גם בשם מרכז הכובד
- כל שני תיכונים במשולש מחלקים זה את זה לשני קטעים כך שחלק אחד של התיכון (הקרוב לקדקוד) גדול פי שניים מהחלק השני.
- במשולש כל שני תיכונים מחלקים זה את זה, כך שחלק התיכון הקרוב לקדקוד מהוו מהתיכון (כולו), והחלק הקרוב לצלע מהווה מהתיכון כולו.
- [[/שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת ומחלקים זה את זה כך שחלק אחד של התיכון (הקרוב לקדקוד) גדול פי שניים מהחלק השני/]].
מפגש הגבהים
[עריכה]משפט פיתגורס
[עריכה]- במשולש ישר-זווית ריבוע היתר שווה לסכום ריבועי הניצבים
- אם שלוש צלעות המשולש ABC -a,b,c מקיימות את השוויון: , אזי הזווית מול הצלע c היא ישרה.
מעגל חוסם משולש
[עריכה]- שטח משולש שווה למכפלת רדיוס המעגל החוסם במשולש כפול מחצית היקף המשולש (לא לציטוט בבגרות)
היטל
[עריכה]- אם היטלו של משופע אחד גדול מהיטלו של משופע שני אז המשופע הראשון גדול מהמשופע השני.
- בתבניות ניתן להציב גודל מסוים במקום גודל השווה לו.