מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/משולשים/קטע אמצעים במשולש

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
משולש עם קטע אמצעים במשולש.png

ניעזר בציור שמשמאל, בו DE קטע אמצעים ב-. כלומר, נתון AD=DB ו-AE=EC

צריך להוכיח ו-

בניית עזר: נסמן נקודה K, כך ש-E אמצע DK.

נמשיך את DE עד K, ונשרטט את CK.

לפי הנתון, AE=EC, ולפי בניית העזר, DE=EK.

גם (כי הן זוויות קדקודיות), ולכן, על-פי צלע-זווית-צלע,

לכן, KC=AD, ומכיוון ש-AD=DB, נקבל BD=CK.

מהחפיפה, נקבל גם , ולכן

כלומר, הצלעות BD ו-KC מקבילות ושוות, ולכן DBCK מקבילית.

לכן, נקבל וגם DK=BC.

על-פי בניית העזר, , ולכן,