מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש


כללי[עריכה]

  • כלל המעבר - אם A שווה ל-B וB שווה ל-C אזהי ש-A שווה ל-C.

ישרים[עריכה]

  • בין שתי נקודות עובר ישר אחד
  • זוויות קודקודיות הן שוות
  • זוויות צמודות משלימות ל180 מעלות
  • זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל180 מעלות
  • זוויות מתחלפות או מתאימות בין ישרים מקבילים שוות
  • דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר ישר אחד בלבד המקביל לישר

משולשים[עריכה]

  • סכום זוויות במשולש הוא 180°
  • זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות שהיא לא נוגעת בהן
  • חוצה זווית פנימית במשולש מקצה על הצלע שמול קטעים פרופורציוניים לצלעות שליד
  • משפט חפיפה צ.צ.צ.
  • משפט חפיפה צ.ז.צ.
  • משפט חפיפה ז.צ.ז. או ז.ז.צ.
  • משפט חפיפה צ.צ.ז.
  • משפט דמיון ז.ז.
  • משפט דמיון צ.צ.צ.
  • משפט דמיון צ.צ.ז.
  • משפט דמיון צ.ז.צ.
  • במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות ולהפך
  • במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס, התיכון לבסיס וחוצה זווית הראש מתלכדים ולהפך
  • במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות ולהפך
  • במשולש שווה צלעות הגבהים, התיכונים וחוצי הזווית מתלכדים ולהפך
  • במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר ולהפך
  • משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.
  • משפט הסינוסים: בכל משולש מתקיים . (α = הזווית שמול a, וכן לגבי β ו-b, וגם γ ו-c. R הוא רדיוס המעגל החוסם).
  • משפט הקוסינוסים: בכל משולש מתקיים . (γ = הזווית שמול c).
  • שטח משולש על פי גובה הוא
  • שטח משולש על פי שתי צלעות וזווית הוא (α = הזווית בין a ל-b)
  • שטח משולש על פי צלע וזוויות הוא (α = הזווית שמול a)

מרובעים[עריכה]

  • סכום זוויות מרובע הוא 360°
  • בדלתון האלכסונים מאונכים זה לזה ולהיפך
  • בדלתון האלכסון הראשי חוצה את המשני ולהיפך
  • האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זויות הראש
  • שטח אלכסון שווה למכפלת האלכסונים חלקי 2
  • בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים ולהיפך
  • שטח טרפז שווה למכפלת הגובה בממוצע הבסיסים
  • במקבילית צלעות נגדיות שוות ולהיפך
  • במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה ולהיפך
  • שטח מקבילית שווה למכפלת הגובה בצלע שהוא יורד אליה
  • במעוין צלעות נגדיות מקבילות
  • במעוין האלכסונים הם חוצי זוית
  • שטח מעוין שווה למכפלת האלכסונים חלקי 2 או מכפלת הגובה בצלע
  • במלבן האלכסונים שווים
  • במלבן האלכסונים חוצים זה את זה
  • שטח מלבן שווה לאורך כפול הרוחב
  • בריבוע האלכסונים שווים זה לזה, חוצים זה את זה, מאונכים זה לזה וחוצי זווית, ולהיפך
  • שטח ריבוע שווה לצלע בחזקת 2
  • בכל מרובע, שטח המרובע שווה למכפלת האלכסונים בסינוס הזווית שביניהם חלקי 2

מעגלים[עריכה]

Angle between strings in a circle.jpg
  • מיתר העובר במרכז המעגל הוא קוטר ולהיפך
  • קוטר הוא המיתר הכי ארוך במעגל ולהיפך
  • זווית מרכזית במעגל שווה פי 2 מכל זווית היקפית הנשענת על אותה קשת
  • זוויות היקפיות או מרכזיות הנשענות על קשתות שוות או מיתרים שווים, שוות ולהיפך
  • זווית בין שני מיתרים הנפגשים בתוך המעגל שווה לסכום הזוויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות שהמיתרים יוצרים בקצותיהם (ראה תמונה)
  • היקף מעגל הוא
  • שטח עיגול הוא
  • אורך קשת הנשענת על זוית מרכזית הוא כאשר הזוית היא ברדיאנים, או אם הזוית היא במעלות
  • שטח גיזרה הנשענת על זוית מרכזית הוא או
  • משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה ולהיפך
  • שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים
  • אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק
  • אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים, אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני
  • כל משולש ניתן לחסום במעגל
  • בכל משולש ניתן לחסום מעגל
  • במרובע החסום במעגל, סכום זוויות נגדיות הוא 180°
  • מרובע שבו סכום זויות נגדיות הוא 180°, הוא בר-חסימה במעגל
  • במרובע החוסם מעגל, סכום צלעות נגדיות שווה
  • במרובע שבו סכום צלעות נגדיות שווה ניתן לחסום בו מעגל
  • כל מצולע משוכלל ניתן לחסום במעגל
  • בכל מצולע משוכלל ניתן לחסום מעגל
  • מרכז מעגל החוסם מצולע הוא מפגש האנכים האמצעיים
  • מרכז מעגל החסום במצולע הוא מפגש חוצי הזווית
  • אנך אמצעי למיתר עובר במרכז המעגל, חוצה את הקשת ואת הזווית המרכזית ולהיפך
  • מיתרים הנמצאים במרחקים שווים מהמרכז שווים ולהיפך
  • מיתר הנמצא במרחק גדול מהמרכז ביחס למיתר אחר, קטן ממנו ולהיפך

ראו גם[עריכה]