מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/משולשים/משפט חוצה הזווית

משפט חוצה-זוית קובע שחוצה זוית במשולש (זוית פנימית או זוית חיצונית), מחלק את הצלע בה הוא פוגע (או המשכה) ביחס שווה ליחס בין שוקי הזוית.

למשל, בתמונה שבצד, AD חוצה את זוית $\angle A$ וחותך את $BC$ ב- $D$ , ולכן, ${\frac {AB}{AC}}={\frac {DB}{DC}}$

המשפט מכליל את הטענה שחוצה-זוית במשולש שווה-שוקיים הוא תיכון.

המשפט ההפוך נכון גם הוא: אם ישר יוצא מקדקוד של משולש לעבר הצלע ממול ומחלק אותה ביחס שווה ליחס בין הצלעות, אז אותו ישר הוא חוצה-זוית.

הוכחה

חוצה זווית פנימית

נסמן באותיות יווניות את שני חלקי הזוית החצויה: ב- $\alpha$ את החלק הקרוב לישר $AB$ וב- $\beta$ את החלק הקרוב לישר $AC$ .

נתון $\alpha =\beta$ , צריך להוכיח ${\frac {BA}{AC}}={\frac {BD}{DC}}$

נסמן נקודה $K$ על $AB$ (או על המשכה), כך ש- $CK\|AD$

נקבל, ע"פ משפט תאלס, ${\frac {BA}{AK}}={\frac {BD}{DC}}$

כיון ש- $CK\|AD$ , נקבל $\angle AKC=\alpha$ (כי זויות מתאימות בין מקבילים שוות זו לזו) וגם $\angle ACK=\beta$ (כי זויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו)

כיון ש- $\alpha =\beta$ (כי $AD$ חוצה-זוית), נקבל, $\angle ACK=\angle AKC$

מכיוון שבמשולש, מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות, AK=AC

נציב תוצאה זו, ונקבל ${\frac {BA}{AC}}={\frac {BD}{DC}}$