הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות

עמוד זה מרכז הוכחות בחשבון אינפיניטסימלי בנושא: גבולות של סדרות ופונקציות.

כיוון שרוב ההוכחות הן נכונות הן עבור פונקציות והן עבור סדרות, לרוב לא נוכיח עבור שתיהן כדי לא לחזור על ההוכחה, אלא במקרה בו יש שוני מובהק בין ההוכחות.

הנושאים מחולקים לעמודים הבאים כדלקמן:

אריתמטיקה של גבולות סופיים ומשפטים נוספים:

• גבול של סכום והפרש פונקציות

• גבול של מכפלת פונקציה בקבוע

• גבול של מכפלת פונקציות

• גבול של מנת פונקציות

• גבול של פונקציה בחזקה

אריתמטיקה של גבולות אינסופיים:

• גבול של סכום פונקציות שאחת מהן שואפת למספר סופי והאחרת לאינסוף

• גבול של הפרש פונקציות שאחת מהן שואפת למספר סופי והאחרת לאינסוף

• גבול של מכפלת פונקציות כאשר לפחות אחת מהן שואפת לאינסוף

• גבול של מנת פונקציות כאשר פונקצית המכנה שואפת לאינסוף ופונקצית המונה שואפת למספר סופי

• ההופכי בערכו המוחלט לפונקציה השואפת לאפס

משפטים על גבולות:

• אם לפונקציה קיים גבול, הגבול יחיד

• מונוטוניות של גבולות

• כלל הסנדוויץ'

• מכפלת פונקציה אפסה בפונקציה חסומה מתכנסת לאפס

• פונקציה שואפת לגבול גוררת שאיפתה בערכה המוחלט לגבול בערכו המוחלט

• פונקציה שואפת לאפס אמ"מ הערך המוחלט שלה שואף לאפס

• גבול בנק' קיים אמ"מ הגבולות החד-צדדיים קיימים ושווים

• שקילות הגדרת הגבול של קושי להגדרת הגבול של היינה

• חסימות ומונוטוניות גוררת קיום גבול סופי באינסוף

• פונקציה מונוטונית מקבלת גבול באינסוף במובן הרחב

• מונוטוניות בקטע סגור גוררת קיום גבולות חד-צדדיים בכל נקודה בקטע

• הגבול של sin(x)/x

אינדקס המרכז את כל המשפטים המופיעים בפרק זה ניתן למצוא בקישור הבא:

הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינדקס