הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של סכום והפרש

משפט

אם $\lim _{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim _{x\to a}g(x)=M$ אזי $\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\pm g(x){\Big ]}=L\pm M$ .

הוכחה

יהי $\varepsilon >0$ . יש להוכיח כי קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים ${\Big |}f(x)\pm g(x)-(L\pm M){\Big |}<\varepsilon$ .

• קיים $\delta _{1}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{1}$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<{\frac {\varepsilon }{2}}$ .
• קיים $\delta _{2}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{2}$ מתקיים ${\bigl |}g(x)-M{\bigr |}<{\frac {\varepsilon }{2}}$ .

נבחר $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$ . לפיכך,

$${\Big |}f(x)\pm g(x)-(L\pm M){\Big |}={\Big |}f(x)-L\pm g(x)\mp M{\Big |}\ {\color {red}\leq }\ {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}+{\bigl |}g(x)-M{\bigr |}\ {\color {red}<}\ {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$$

$\blacksquare$