הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של מנה

משפט

אם $\underset{x\to a}{lim}f(x)=L,\underset{x\to a}{lim}g(x)=M\ne 0$ אז $\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to a}{lim}f(x)}{\underset{x\to a}{lim}g(x)}=\frac{L}{M}$.

הוכחה

יש להראות כי לכל $\epsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}|<\epsilon$.

$$|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}|=|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{g(x)}+\frac{L}{g(x)}-\frac{L}{M}|\le |\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{g(x)}|+|\frac{L}{g(x)}-\frac{L}{M}|=\frac{|M|\cdot |f(x)-L|+|L|\cdot |g(x)-M|}{|M|\cdot |g(x)|}$$

קיימים $0<A<B$ כך שמתקיימים המקרים $|L|<B$ וגם $A<|M|<B$.

$$|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}|\le \frac{|M|\cdot |f(x)-L|+|L|\cdot |g(x)-M|}{|M|\cdot |g(x)|}<\frac{B}{A}\cdot \frac{|f(x)-L|+|g(x)-M|}{|g(x)|}$$

• קיים ${\delta }_1>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_1$ מתקיים $|g(x)|>A$ או $\frac{1}{|g(x)|}<\frac{1}{A}$.
• קיים ${\delta }_2>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_2$ מתקיים $|f(x)-L|<\frac{A^2}{2B}\epsilon$.
• קיים ${\delta }_3>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_3$ מתקיים $|g(x)-M|<\frac{A^2}{2B}\epsilon$.

נבחר $\delta =min\{{\delta }_1,{\delta }_2,{\delta }_3\}$. לפיכך,

$$|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}|\le \frac{|M|\cdot |f(x)-L|+|L|\cdot |g(x)-M|}{|M|\cdot |g(x)|}<\frac{B}{A}\cdot \frac{|f(x)-L|+|g(x)-M|}{|g(x)|}<\frac{B}{A}\cdot \frac{1}{A}\cdot (\frac{A^2}{2B}\epsilon +\frac{A^2}{2B}\epsilon )=\epsilon$$

$◼$