הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/הפרש אינסופי

משפט

אם $\lim _{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim _{x\to a}g(x)=\infty$ אז $\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)-g(x){\Big ]}=-\infty$ .

הוכחה

יש להראות כי לכל $M$ קיימת $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $f(x)-g(x)<M$ .

מהגדרת הגבול הראשון לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta _{1}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{1}$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon$ , אזי $f(x)<L+\varepsilon$ .

מהגדרת הגבול השני לכל $M$ קיים $\delta _{2}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{2}$ מתקיים $g(x)>L+\varepsilon -M$ .

נבחר $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$ . לפיכך,

$$f(x)-g(x)\ {\color {red}<}\ L+\varepsilon -(L+\varepsilon -M)=M$$

$\blacksquare$