הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/פונ' שואפת לאפס יחד עם ערכה המוחלט

משפט

$\lim _{x\to a}f(x)=0$ אם ורק אם $\lim _{x\to a}{\bigl |}f(x){\bigr |}=0$ .

הוכחה

נוכיח את הכיוון הראשון. מהגדרת הגבול לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-0{\bigr |}<\varepsilon$ .

אבל ${\Big |}{\bigl |}f(x){\bigr |}-0{\Big |}={\bigl |}f(x){\bigr |}<\varepsilon$ ולכן $\lim _{x\to a}{\bigl |}f(x){\bigr |}=0$ .

נכונות הכיוון השני ברורה כיון שאז נקבל ${\bigl |}f(x)-0{\bigr |}={\bigl |}f(x){\bigr |}={\Big |}{\bigl |}f(x){\bigr |}-0{\Big |}$ עם שימוש דומה בהגדרת הגבול.

$\blacksquare$