לדלג לתוכן

הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/הקשר בין גבול בנק' לגבולות החד-צדדיים

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
משפט

אם ורק אם וגם .

הוכחה

נוכיח .

מהגדרת הגבול לכל קיים כך שלכל מתקיים .

אם אז ונקבל כי לכל קיים כך שלכל מתקיים . לכן .

אם אז ונקבל כי לכל קיים כך שלכל מתקיים . לכן .


נוכיח .

, לכן לכל קיים כך שלכל מתקיים .

, לכן לכל קיים כך שלכל מתקיים .

נבחר .

אם אז לכל קיים כך שלכל מתקיים .

אם אז לכל קיים כך שלכל מתקיים .

בכך כיסינו את שני המקרים (איננו מתייחסים לנקודה בעניין הגבול) ולכן לכל קיים כך שלכל מתקיים .