הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/הקשר בין גבול בנק' לגבולות החד-צדדיים
מראה
- משפט
אם ורק אם וגם .
- הוכחה
נוכיח .
מהגדרת הגבול לכל קיים כך שלכל מתקיים .
אם אז ונקבל כי לכל קיים כך שלכל מתקיים . לכן .
אם אז ונקבל כי לכל קיים כך שלכל מתקיים . לכן .
נוכיח .
, לכן לכל קיים כך שלכל מתקיים .
, לכן לכל קיים כך שלכל מתקיים .
נבחר .
אם אז לכל קיים כך שלכל מתקיים .
אם אז לכל קיים כך שלכל מתקיים .
בכך כיסינו את שני המקרים (איננו מתייחסים לנקודה בעניין הגבול) ולכן לכל קיים כך שלכל מתקיים .