הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/הקשר בין גבול בנק' לגבולות החד-צדדיים

משפט

$\lim _{x\to a}f(x)=L$ אם ורק אם $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=L$ וגם $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=L$ .

הוכחה

נוכיח $\Leftarrow$ .

מהגדרת הגבול לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon$ .

אם $x>a$ אז $|x-a|=x-a$ ונקבל כי לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<x-a<\delta$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon$ . לכן $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=L$ .

אם $x<a$ אז $|x-a|=a-x$ ונקבל כי לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<a-x<\delta$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon$ . לכן $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=L$ .

$\blacksquare$

נוכיח $\Rightarrow$ .

$\lim _{x\to a^{+}}f(x)=L$ , לכן לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta _{1}>0$ כך שלכל $0<x-a<\delta _{1}$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon$ .

$\lim _{x\to a^{-}}f(x)=L$ , לכן לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta _{2}>0$ כך שלכל $0<a-x<\delta _{2}$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon$ .

נבחר $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$ .

אם $x>a$ אז לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta =\delta _{1}>0$ כך שלכל $0<x-a<\delta$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon$ .

אם $x<a$ אז לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta =\delta _{2}>0$ כך שלכל $0<a-x<\delta$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon$ .

בכך כיסינו את שני המקרים (איננו מתייחסים לנקודה $a$ בעניין הגבול) ולכן לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon$ .

$\blacksquare$