הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/פונ' חסומה ומונוטונית מקבלת גבול באינסוף
מראה
- משפט
תהי פונקציה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל. אזי קיים וערכו .
הערה: הנ"ל נכון גם באופן דומה עבור פונקציה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע וגבול במינוס אינסוף. נוכיח רק את המקרה הנ"ל, שכן ההוכחות הן דומות. כמו־כן, התוצאה נכונה גם עבור סדרות וההוכחה זהה.
- הוכחה
נכונות הטענה מתבססת על תכונת השלמות של המספרים הממשיים: לכל קבוצה לא־ריקה וחסומה מלעיל קיים חסם עליון.
קבוצת ערכי הפונקציה אינה ריקה והיא חסומה מלעיל, על־פי הנתון. לכן קיים לה חסם עליון . כעת נראה כי זהו גבול הפונקציה באינסוף.
מהגדרת החסם העליון לכל קיים עבורו . כיון שהפונקציה מונוטונית עולה, לכל מתקיים . אזי,