הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/סכום אינסופי

משפט

אם $\lim _{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim _{x\to a}g(x)=\infty$ אז $\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)+g(x){\Big ]}=\infty$ .

הוכחה

יש להראות כי לכל $M$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $f(x)+g(x)>M$ .

$f(x)$ חסומה וקיים $\delta _{1}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{1}$ מתקיים ${\bigl |}f(x){\bigr |}<A$ עבור $A>0$ כלשהו, אזי $f(x)>-A$ .

לכל $K$ קיים $\delta _{2}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{2}$ מתקיים $g(x)>K$ .

נבחר $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$ . לפיכך,

$$f(x)+g(x)\ {\color {red}>}\ -A+K=M$$

$\blacksquare$