הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/מנה אינסופית

משפט

אם $\underset{x\to a}{lim}f(x)=L,\underset{x\to a}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$ אזי $\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ .

הוכחה

יהי $\epsilon >0$ . יש להראות כי קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|<\epsilon$ .

$f(x)$ חסומה בסביבת $a$ , כלומר קיים ${\delta }_1>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_1$ מתקיים $|f(x)|<M$ עבור $M>0$ כלשהו.

קיים ${\delta }_2>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_2$ הפונקציה $g(x)$ חיובית וכן $g(x)>M\cdot \epsilon$ .

נבחר $\delta =min\{{\delta }_1,{\delta }_2\}$ . לפיכך,

$$|g(x)|=g(x)>M\cdot \epsilon \ge |f(x)|\cdot \epsilon ⟹\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|<\epsilon$$

$◼$