הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/מנה אינסופית

משפט

אם $\lim _{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim _{x\to a}g(x)=\infty$ אזי $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0$ .

הוכחה

יהי $\varepsilon >0$ . יש להראות כי קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|<\varepsilon$ .

$f(x)$ חסומה בסביבת $a$ , כלומר קיים $\delta _{1}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{1}$ מתקיים ${\bigl |}f(x){\bigr |}<M$ עבור $M>0$ כלשהו.

קיים $\delta _{2}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{2}$ הפונקציה $g(x)$ חיובית וכן $g(x)>M\!\cdot \!\varepsilon$ .

נבחר $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$ . לפיכך,

$${\bigl |}g(x){\bigr |}=g(x)>M\!\cdot \!\varepsilon \geq {\bigl |}f(x){\bigr |}\cdot \varepsilon \implies \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|<\varepsilon$$

$\blacksquare$