הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של מכפלה

משפט

אם $\lim _{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim _{x\to a}g(x)=M$ אזי $\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=L\cdot M$ .

הוכחה

יהי $\varepsilon >0$ . נראה שקיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים ${\Big |}f(x)g(x)-L\!\cdot \!M{\Big |}<\varepsilon$ . $${\begin{matrix}{{\Big |}f(x)g(x)-L\!\cdot \!M{\Big |}={\Big |}f(x)g(x)-L\!\cdot \!g(x)+L\!\cdot \!g(x)-L\!\cdot \!M{\Big |}={\Big |}g(x){\bigl (}f(x)-L{\bigr )}+L{\bigl (}g(x)-M{\bigr )}{\Big |}}\\{\color {red}\leq }\ {\Big |}g(x){\bigl (}f(x)-L{\bigr )}{\Big |}+{\Big |}L{\bigl (}g(x)-M{\bigr )}{\Big |}={\bigl |}g(x){\bigr |}\!\cdot \!{\bigl |}f(x)-L{\bigr |}+|L|\!\cdot \!{\bigl |}g(x)-M{\bigr |}\end{matrix}}$$

מהנתונים על הגבולות נסיק כי:

$g(x)$ חסומה וקיים $\delta _{1}>0$ כך שמתקיימים בו זמנית המקרים: ${\Big |}g(x){\Big |}<A$ לכל $0<|x-a|<\delta _{1}$ וגם $|L|<A$ , עבור $A>0$ כלשהו.

קיים $\delta _{2}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{2}$ מתקיים ${\Big |}f(x)-L{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2A}}$ .

קיים $\delta _{3}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{3}$ מתקיים ${\Big |}g(x)-M{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2A}}$ .

נבחר $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}\}$ . לפיכך,

$${\Big |}f(x)g(x)-L\!\cdot \!M{\Big |}\ {\color {red}\leq }\ {\bigl |}g(x){\bigr |}\!\cdot \!{\bigl |}f(x)-L{\bigr |}+|L|\!\cdot \!{\bigl |}g(x)-M{\bigr |}\ {\color {red}<}\ A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}+A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}=\varepsilon$$

$\blacksquare$