הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של מכפלה בקבוע

משפט

אם $\lim _{x\to a}f(x)=L$ אזי $\lim _{x\to a}c\!\cdot \!f(x)=c\!\cdot \!L$ כאשר $c\in \mathbb {R}$ .

הוכחה

יהי $\varepsilon >0$ .

אם $c=0$ הטענה מיידית: ${\Big |}0\!\cdot \!f(x)-0\!\cdot \!L{\Big |}=0\ {\color {red}<}\ \varepsilon$

אם $c\neq 0$ נראה שקיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים ${\Big |}c\!\cdot \!f(x)-c\!\cdot \!L{\Big |}<\varepsilon$ .

מהגדרת הגבול קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<{\frac {\varepsilon }{|c|}}$ .

$${\Big |}c\!\cdot \!f(x)-c\!\cdot \!L{\Big |}=|c|\!\cdot \!{\bigl |}f(x)-L{\bigr |}\ {\color {red}<}\ |c|\!\cdot \!{\frac {\varepsilon }{|c|}}=\varepsilon$$

$\blacksquare$