הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/מונוטוניות של גבולות

משפט

אם $f(x)\leq g(x)$ בסביבה מנוקבת של $a$ ואם $\lim _{x\to a}f(x)=L,\lim _{x\to a}g(x)=M$ , אזי $L\leq M$ .

הוכחה

נניח בשלילה כי $L>M$ .

החוק להפרש גבולות אומר כי $\lim _{x\to a}{\Big [}g(x)-f(x){\Big ]}=M-L$ . לכן לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים ${\Big |}{\bigl [}g(x)-f(x){\bigr ]}-(M-L){\Big |}<\varepsilon$ .

בפרט עבור $\varepsilon =L-M$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים ${\Big |}{\bigl [}g(x)-f(x){\bigr ]}-(M-L){\Big |}<L-M$ .

לכל $a$ ממשי מתקיים $a\leq |a|$ , לכן לכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים ${\bigl [}g(x)-f(x){\bigr ]}-(M-L)<L-M$ . מהעברת אגפים נקבל $g(x)<f(x)$ .

אבל הנחתנו היא $f(x)\leq g(x)$ בסביבת $a$ . סתירה!

לכן $L\leq M$ .

$\blacksquare$