הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/פונקציה שואפת לגבול יחד עם ערכה המוחלט

משפט

אם $\lim _{x\to a}f(x)=L$ אזי $\lim _{x\to a}{\bigl |}f(x){\bigr |}=|L|$ .

הוכחה

לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon$ .

לפי אי־שוויון המשולש השני מתקיים ${\Big |}|a|-|b|{\Big |}\leq |a-b|$ . לפיכך,

$${\Big |}{\bigl |}f(x){\bigr |}-|L|{\Big |}\leq {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon$$

$\blacksquare$