הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/כלל הסנדוויץ'

משפט

אם הפונקציות $f(x),g(x),h(x)$ מקיימות את שני התנאים הבאים:

• $f(x)\leq h(x)\leq g(x)$ בסביבה מנוקבת של $a$
• $\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=L$

אזי $\lim _{x\to a}h(x)=L$ .

הוכחה

יהי $\varepsilon >0$ .

קיים $\delta _{1}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{1}$ מתקיים $f(x)\leq h(x)\leq g(x)$ .

קיים $\delta _{2}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{2}$ מתקיים $L-\varepsilon <f(x)<L+\varepsilon$ .

קיים $\delta _{3}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{3}$ מתקיים $L-\varepsilon <g(x)<L+\varepsilon$ .

נבחר $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}\}$ . לפיכך,

$${\begin{matrix}L-\varepsilon <f(x)\leq h(x)\leq g(x)<L+\varepsilon \\\\L-\varepsilon <h(x)<L+\varepsilon \end{matrix}}$$

לכן $\lim _{x\to a}h(x)=L$ .

$\blacksquare$