משפט
אם לסדרה קיים גבול, אזי הגבול הוא יחיד. במילים אחרות, אם
{
a
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
מתכנסת גם למספר
L
{\displaystyle L}
וגם למספר
M
{\displaystyle M}
, אז בהכרח
L
=
M
{\displaystyle L=M}
.
הערה: המשפט נכון באותה מידה עבור פונקציות, הן עבור גבול בנקודה סופית והן עבור גבול באינסוף, עם הוכחות בעלות עקרון זהה.
הוכחה באמצעות הגדרת הגבול
מהגדרת הגבול לכל
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
קיים
k
1
∈
N
{\displaystyle k_{1}\in \mathbb {N} }
כך שלכל
n
>
k
1
{\displaystyle n>k_{1}}
מתקיים
|
a
n
−
L
|
<
ε
2
{\displaystyle |a_{n}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}}
.
כמו־כן, עבור אותו
ε
{\displaystyle \varepsilon }
קיים
k
2
∈
N
{\displaystyle k_{2}\in \mathbb {N} }
כך שלכל
n
>
k
2
{\displaystyle n>k_{2}}
מתקיים
|
a
n
−
M
|
<
ε
2
{\displaystyle |a_{n}-M|<{\frac {\varepsilon }{2}}}
.
נבחר
k
=
max
{
k
1
,
k
2
}
{\displaystyle k=\max\{k_{1},k_{2}\}}
ואז לכל
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
קיים
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
כך שלכל
n
>
k
{\displaystyle n>k}
מתקיים
|
a
n
−
L
|
<
ε
2
{\displaystyle |a_{n}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}}
וגם
|
a
n
−
M
|
<
ε
2
{\displaystyle |a_{n}-M|<{\frac {\varepsilon }{2}}}
.
אזי,
|
L
−
M
|
=
|
L
−
a
n
+
a
n
−
M
|
≤
|
L
−
a
n
|
+
|
a
n
−
M
|
=
|
a
n
−
L
|
+
|
a
n
−
M
|
<
ε
2
+
ε
2
=
ε
{\displaystyle |L-M|={\bigl |}L-a_{n}+a_{n}-M{\bigr |}\ {\color {red}\leq }\ |L-a_{n}|+|a_{n}-M|=|a_{n}-L|+|a_{n}-M|\ {\color {red}<}\ {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }
|
L
−
M
|
≥
0
{\displaystyle |L-M|\geq 0}
אבל זה לא יכול להיות גדול מ־0 כי אז נוכל לבחור
ε
=
|
L
−
M
|
2
{\displaystyle \varepsilon ={\frac {|L-M|}{2}}}
ונקבל סתירה. לפיכך
|
L
−
M
|
=
0
{\displaystyle |L-M|=0}
כלומר
L
=
M
{\displaystyle L=M}
.
◼
{\displaystyle \blacksquare }
הוכחה באמצעות המשפט על מונוטוניות של גבולות
על־פי המשפט על מונוטוניות של גבולות , ניתן להציע הוכחה קצרה ומיידית.
המשפט אומר כי אם שתי סדרות מקיימות
A
n
≤
B
n
{\displaystyle A_{n}\leq B_{n}}
לכל
n
>
k
∈
N
{\displaystyle n>k\in \mathbb {N} }
ושתי הסדרות מתכנסות, אזי
lim
n
→
∞
A
n
≤
lim
n
→
∞
B
n
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}\leq \lim _{n\to \infty }B_{n}}
.
נשתמש במשפט, כאשר שתי הסדרות שלנו יהיו הסדרה הנתונה
{
a
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
. כמובן שמתקיים
a
n
≤
a
n
{\displaystyle a_{n}\leq a_{n}}
והסדרה מתכנסת (לשני גבולות שונים), אז מהמשפט נובע כי
L
≤
M
{\displaystyle L\leq M}
. מאידך גיסא,
a
n
≥
a
n
{\displaystyle a_{n}\geq a_{n}}
ונקבל
M
≤
L
{\displaystyle M\leq L}
. אזי האפשרות היחידה היא
L
=
M
{\displaystyle L=M}
.
◼
{\displaystyle \blacksquare }