- משפט
אם לסדרה קיים גבול, אזי הגבול הוא יחיד. במילים אחרות, אם
מתכנסת גם למספר
וגם למספר
, אז בהכרח
.
הערה: המשפט נכון באותה מידה עבור פונקציות, הן עבור גבול בנקודה סופית והן עבור גבול באינסוף, עם הוכחות בעלות עקרון זהה.
- הוכחה באמצעות הגדרת הגבול
מהגדרת הגבול לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים
.
כמו־כן, עבור אותו
קיים
כך שלכל
מתקיים
.
נבחר
ואז לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים
וגם
.
אזי,

אבל זה לא יכול להיות גדול מ־0 כי אז נוכל לבחור
ונקבל סתירה. לפיכך
כלומר
.
- הוכחה באמצעות המשפט על מונוטוניות של גבולות
על־פי המשפט על מונוטוניות של גבולות, ניתן להציע הוכחה קצרה ומיידית.
המשפט אומר כי אם שתי סדרות מקיימות
לכל
ושתי הסדרות מתכנסות, אזי
.
נשתמש במשפט, כאשר שתי הסדרות שלנו יהיו הסדרה הנתונה
. כמובן שמתקיים
והסדרה מתכנסת (לשני גבולות שונים), אז מהמשפט נובע כי
. מאידך גיסא,
ונקבל
. אזי האפשרות היחידה היא
.