הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/יחידות הגבול

משפט

אם לסדרה קיים גבול, אזי הגבול הוא יחיד. במילים אחרות, אם $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת גם למספר $L$ וגם למספר $M$ , אז בהכרח $L=M$ .

הערה: המשפט נכון באותה מידה עבור פונקציות, הן עבור גבול בנקודה סופית והן עבור גבול באינסוף, עם הוכחות בעלות עקרון זהה.

הוכחה באמצעות הגדרת הגבול

מהגדרת הגבול לכל $\varepsilon >0$ קיים $k_{1}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>k_{1}$ מתקיים $|a_{n}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ .

כמו־כן, עבור אותו $\varepsilon$ קיים $k_{2}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>k_{2}$ מתקיים $|a_{n}-M|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ .

נבחר $k=\max\{k_{1},k_{2}\}$ ואז לכל $\varepsilon >0$ קיים $k\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>k$ מתקיים $|a_{n}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ וגם $|a_{n}-M|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ .

אזי,

$$|L-M|={\bigl |}L-a_{n}+a_{n}-M{\bigr |}\ {\color {red}\leq }\ |L-a_{n}|+|a_{n}-M|=|a_{n}-L|+|a_{n}-M|\ {\color {red}<}\ {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$$

$|L-M|\geq 0$ אבל זה לא יכול להיות גדול מ־0 כי אז נוכל לבחור $\varepsilon ={\frac {|L-M|}{2}}$ ונקבל סתירה. לפיכך $|L-M|=0$ כלומר $L=M$ .

$\blacksquare$

הוכחה באמצעות המשפט על מונוטוניות של גבולות

על־פי המשפט על מונוטוניות של גבולות, ניתן להציע הוכחה קצרה ומיידית.

המשפט אומר כי אם שתי סדרות מקיימות $A_{n}\leq B_{n}$ לכל $n>k\in \mathbb {N}$ ושתי הסדרות מתכנסות, אזי $\lim _{n\to \infty }A_{n}\leq \lim _{n\to \infty }B_{n}$ .

נשתמש במשפט, כאשר שתי הסדרות שלנו יהיו הסדרה הנתונה $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ . כמובן שמתקיים $a_{n}\leq a_{n}$ והסדרה מתכנסת (לשני גבולות שונים), אז מהמשפט נובע כי $L\leq M$ . מאידך גיסא, $a_{n}\geq a_{n}$ ונקבל $M\leq L$ . אזי האפשרות היחידה היא $L=M$ .

$\blacksquare$