מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
- משפט
אם
מוגדרת בקטע הסגור
ומונוטונית בקטע, אז יש לה גבולות חד־צדדיים בכל
.
- הוכחה
נניח ללא הגבלת הכלליות כי הפונקציה מונוטונית עולה, ונוכיח ללא הגבלת הכלליות כי לפונקציה יש גבול שמאלי בכל נקודה בקטע.
נגדיר קבוצה
.
יהי
. נמצא
כך שלכל
מתקיים
, כאשר
.
קיומו של
מובטח מכיון ש־
חסומה מלעיל ע"י
, וקיים לקבוצה חסם עליון על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשיים.
נשים לב כי לכל
מתקיים
ולכן
לכל
ובלי קשר לבחירת דלתא, ונותר לנו רק להוכיח כי לכל
ולכל
מתקיים
.
על־פי הגדרת חסם עליון, לכל
קיים
עבורו
.
נבחר
ואז אם
אז
וכיון שהפונקציה מונוטונית עולה בקטע, נקבל כי
ולכן
.
לכן לכל
מתקיים
לכל
.