הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/מונוטוניות גוררת גבולות חד-צדדיים

משפט

אם $f(x)$ מוגדרת בקטע הסגור $[a,b]$ ומונוטונית בקטע, אז יש לה גבולות חד־צדדיים בכל $x_{0}\in [a,b]$ .

הוכחה

נניח ללא הגבלת הכלליות כי הפונקציה מונוטונית עולה, ונוכיח ללא הגבלת הכלליות כי לפונקציה יש גבול שמאלי בכל נקודה בקטע.

נגדיר קבוצה $S={\Big \{}f(x):x<x_{0}{\Big \}}$ .

יהי $\varepsilon >0$ . נמצא $\delta >0$ כך שלכל $0<x_{0}-x<\delta$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon$ , כאשר $L=\sup S$ .

קיומו של $L$ מובטח מכיון ש־$S$ חסומה מלעיל ע"י $f(x_{0})$ , וקיים לקבוצה חסם עליון על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשיים.

נשים לב כי לכל $x<x_{0}$ מתקיים $f(x)\in S$ ולכן $f(x)\leq L<L+\varepsilon$ לכל $\varepsilon >0$ ובלי קשר לבחירת דלתא, ונותר לנו רק להוכיח כי לכל $\varepsilon >0$ ולכל $x<x_{0}$ מתקיים $f(x)>L-\varepsilon$ .

על־פי הגדרת חסם עליון, לכל $\varepsilon >0$ קיים $f(x_{1})\in S$ עבורו $f(x_{1})>L-\varepsilon$ .

נבחר $\delta =x_{0}-x_{1}$ ואז אם $0<x_{0}-x<\delta$ אז $x>x_{1}$ וכיון שהפונקציה מונוטונית עולה בקטע, נקבל כי $f(x)\geq f(x_{1})$ ולכן $f(x)>L-\varepsilon$ .

לכן לכל $0<x_{0}-x<\delta$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon$ לכל $\varepsilon >0$ .

$\blacksquare$