הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/שקילות הגדרות הגבול

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
משפט

הטענות הבאות שקולות:

  1. .
  2. לכל קיים כך שלכל מתקיים .
  3. לכל סדרה המקיימת ו־ לכל , מתקיים .
הוכחה

מכיון שטענה 2 היא פשוט הגדרת הגבול (לפי קושי). לכן, עלינו להוכיח את השקילות בין הגדרות הגבול של קושי ושל היינה, כלומר .


נוכיח .

תהי סדרה המקיימת ו־ לכל .

יהי . קיים כך שלכל מתקיים . מהגדרת הגבול קיים כך שלכל מתקיים .

מאחר ו־ לכל מתקיים . אזי עבור זה ועבור נקבל כי , כלומר .


נוכיח .

נניח כי לכל סדרה המקיימת ו־ לכל , מתקיים ונוכיח כי .

נניח בשלילה כי . לכן לפי טענה 2 (היא שקולה לטענה 1), קיים כך שלכל קיים המקיים עבורו .

בפרט, לכל קיים המקיים עבורו . אזי וזוהי סתירה להנחה שלנו. לכן .

אזי , והטענות הן שקולות.