הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/הופכי לגבול אינסופי

משפט

אם $\lim _{x\to a}f(x)=0$ אז $\lim _{x\to a}{\frac {1}{{\bigl |}f(x){\bigr |}}}=\infty$ .

הוכחה

מספיק להראות כי לכל $M>0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים ${\frac {1}{{\bigl |}f(x){\bigr |}}}>M$ .

מהגדרת הגבול קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים ${\bigl |}f(x){\bigr |}<{\frac {1}{M}}$ , כלומר ${\frac {1}{{\bigl |}f(x){\bigr |}}}>M$ .

$\blacksquare$