מבנים אלגבריים/הקדמה
אמנם בשביל להתחיל ללמוד את החומר בספר זה אין צורך בחומר נוסף מלבד ידע בסיסי במתמטיקה, ישנם כמה דברים שכדאי לשים עליהם את הדגש כדי להקל על הבנת הקורא בספר וכדי להבהיר דברים מסוימים שבהמשך הספר נתייחס אליהם כמובנים מאליהם.
פרקי הקדמה אלו נועדו לעבור על החומרים הבסיסיים שדרושים כדי להבין את המשך הספר בצורה מלאה וחלקה, ואין הם תחליף ללמידת הנושאים האלו בצורה מקיפה בספרי לימוד שנועדו לכך. אי לכך, פרקי הקדמה אלה לא יהיו מפורטים ו"כבדים" כמו שאר פרקי הספר, וההוכחות בהם יהיו רק של הטענות שדרוש הסבר מיוחד כדי להבין אותן (מלבד אולי הפרק על תמורות כפי שיפורט בהמשך). בין הנושאים שיכללו בפרקים אלה הם תורת הקבוצות ויחסים בקבוצות,פעולות בינאריות והתכונות שלהן,תורת המספרים על קצה המזלג ואז פרק על תמורות.
למרות שהבנה של כל הפרקים הנ"ל חיונית להבנת החומר לעומקו, הפרק על תמורות הוא הפרק העיקרי מבין פרקי ההקדמה, שכן, מרבית מהמשפטים וההוכחות שלהם יסתמכו על הטענות מפרק זה ויש צורך לציין, בנוסף לכך, שמרבית מהדוגמאות באלגברה מופשטת מגיעות מהרעיון של סימטריה ותמורות על קבוצות ולכן פרק זה ראוי שיקבל את הכבוד המגיע לו.
להלן רשימת פרקי ההקדמה, אם הקורא ימצא את עצמו שלם עם החומר המוצג באחד הפרקים הוא יכול לדלג על קריאותו מבלי שזה יפגע בהמשך קריאתו בספר.
בפרק זה נדון באיחוד וחיתוך של קבוצות, הכלה ושייכות של קבוצות, קבוצת החזקה, יחסים (יחס סדר חלקי, לינארי, טוב ויחסי שקילות), פונקציות וקרדינלים.
בסעיף על קרדינלים ניגע בנושא בצורה בסיסית בלבד ונדון בעיקר במושגים של קבוצות בנות מנייה וקבוצות שאינן בנות מנייה וכן מספר משפטים על קבוצות סופיות. יצוטט האלכסון של קנטור ללא הוכחה.
בפרק זה נדון בתכונות של פעולות בינאריות על קבוצה, ביניהן אסוציאטיביות, קומוטאטיביות וקיום של אבר נייטרלי. נדבר גם על תכונות שיש לשתי פעולות בינאריות שמוגדרות על אותה קבוצה (נגיד, דיסטריבוטיביות) ובקשר שלהן עם התכונות האחרות.
בנוסף, אנו נפתח את המושג של חבורה למחצה ושל מונואיד במובנים בסיסיים בלבד, כהכנה לקראת המבנה האלגברי המורכב יותר של חבורה. הסעיף על מונואידים וחבורות למחצה לא נחוץ לשם הבנה של שאר הפרקים בספר אבל הוא בהחלט יכול להקל.
מלבד השימוש הנרחב שעושים בטענות של פרק זה, הוא מעניין כנושא כשלעצמו והוא יתן לנו מוטיבציה רחבה מאוד בנוגע למהות של מבנים אלגבריים מסוימים, בין אם בחוגים כשנגיע לנושא של חוגי מנה ולדמיון הרב שלהם עם מערכות מספרים מסוימות ועד לנושא של תחומי פריקות, שם נכליל את תכונת הפריקות שיש במספרים השלמים לתחומי שלמות כלליים יותר.
הפרק יכלול את הנושאים הבאים: האקסיומות של פאנו למספרים הטבעיים, הגדרה של חיבור וכפל במספרים הטבעיים, יחס חלוקה, יחס הקואנגרציה מודולו מספר שלם ומספר משפטים מעניינים ושימושיים מתורת המספרים שיעזרו לנו בהמשך, כשנפתח דוגמאות מורכבות והכללות מעניינות.
בפרק זה נדון בקבוצת התמורות על קבוצה נתונה כלשהי, בתמורות על קבוצות סופיות, הרכבה של תמורות, סימן של תמורה, ייצוג של תמורות באמצעות מטריצות ובאמצעות סייקלים.
הבנה של חלק מהדוגמאות דורשת ידע באלגברה לינארית. ידע כזה הוא לא הכרחי וניתן לדלג על הדוגמאות שבהן יש מטריצות או העתקות לינאריות ומרחבים וקטוריים מבלי לאבד את החומר.
לקריאה נוספת
[עריכה]מקורות נוספים להעמקה בחומרים הרשומים לעיל:
- קבוצות ויחסים:
- תורת הקבוצות – הספר בויקיספר על תורת הקבוצות ומכיל את כל החומר שנמצא בפרק ההקדמה ואמור להכיל יותר.
- מבוא למתמטיקה אוניברסיטאית – מידע בסיסי על תורת הקבוצות ולוגיקה
- מונחון של תורת הקבוצות בויקיפדיה
| - | הקדמה | הפרק הבא: קבוצות ויחסים |