בפרק זה נתמקד בכמה תכונות בסיסיות של החבורה שנובעות ישירות מההגדרה שלה. תכונות אלו ישמשו אותנו בהמשך כשנחקור את המבנה של החבורה יותר לעומק. למען הפשטות, נשתמש בסעיף זה בסימונים של חבורה חיבורית, את האנלוגיה למקרה של חבורה כפלית ניתן לעשות בקלות בעזרת הסימונים שראינו בפרק הקודם.

יחידות

הטענה הבאה, למרות שנראית לנו מאוד אינטואטיבית וכמעט ברורה מאליה דורשת הוכחה. הרבה דברים שנראים לנו מאוד אינטואטיביים והגיוניים בפרק זה לאו דווקא יהיו נכונים, ולכן אנו נדאג להוכיח הכל בזהירות ובבהירות תוך כדי הסתמכות על האקסיומות של החבורה.

טענה 1: יחידות האיבר הנייטרלי

בהינתן חבורה $(G,+)$ , האיבר הנייטרלי $0_{G}\in G$ הוא יחיד.

הוכחה: נניח בשלילה שקיים איבר נייטרלי נוסף $0'\in G$ אזי לפי תכונות הנייטרלי מתקיים: ${\begin{aligned}0'&=^{(1)}0'+0_{G}\\&=^{(2)}0_{G}\end{aligned}}$ מכאן, אם קיים איבר נייטרלי נוסף אזי הוא שווה לאיבר נייטרלי אחר ולכן האיבר הנייטרלי הוא יחיד.

הסבר מעברים:
(1) $0_{G}$ הוא איבר נייטרלי
(2) $0'$ הוא איבר נייטרלי

טענה 2: יחידות הנגדי

בחבורה $(G,+)$ , לכל $a\in G$ הנגדי של $a$ הוא יחיד.

הוכחה: יהי $a\in G$ . נניח כעת שקיימים לאיבר זה שני נגדיים $b,b'\in G$ . אזי מתקיים: ${\begin{aligned}b&=^{(1)}b+0_{G}\\&=^{(2)}b+(a+b')\\&=^{(3)}(b+a)+b'\\&=^{(4)}0_{G}+b'\\&=^{(5)}b'\end{aligned}}$ מכאן, אם קיימים לאיבר שני נגדיים אז הם שווים, ומכאן הטענה.

הסבר מעברים:
(1) $0_{G}$ איבר נייטרלי לחיבור
(2) $b'$ איבר נגדי של $a$
(3) אסוציאטיביות של חיבור
(4) $b$ איבר נגדי של $a$
(5) $0_{G}$ איבר נייטרלי לחיבור

כפי שנאמר גם בסעיף ההקדמה לפרק זה, את הנגדי היחידי של איבר $a\in G$ נסמן מעתה ואילך $-a\in G$ .

טענה 3:

אם קיים איבר $a\in G$ כך שמתקיים $a+a=a$ , אזי מתקיים $a=0_{G}$ .

הוכחה: {{{1}}}

צמצום ופתרון משוואות בחבורה

הטענות הבאות נועדו בעיקר כדי לעזור לנו בפעולות "אלגבריות" שונות על ביטויים שהאיברים והפעולה בהם שייכים לחבורה כלשהיא.

טענה 4: צמצום משמאל

תהי $(G,+)$ חבורה. אם מתקיים $a+x=a+y$ אזי מתקיים $x=y$ .

הוכחה: ${\begin{aligned}x&=^{(1)}0_{G}+x\\&=^{(2)}((-a)+a)+x\\&=^{(3)}(-a)+(a+x)\\&=^{(4)}(-a)+(a+y)\\&=^{(5)}((-a)+a)+y\\&=^{(6)}0_{G}+y\\&=^{(7)}y\end{aligned}}$
הסבר מעברים:
(1) תכונות של איבר נייטרלי
(2) תכונות של איבר נגדי
(3) אסוציאטיביות
(4) נתון
(5) אסוציאטיביות
(6) תכונות של איבר נגדי
(7) תכונות של איבר נייטרלי

באופן אנלוגי, הקורא יוכל להוכיח בעצמו את הטענה הבאה:

טענה 4': צמצום מימין

תהי $(G,+)$ חבורה. אם מתקיים $x+a=y+a$ אזי מתקיים $x=y$ .

הסיבה שיש צורך בטענה 4' היא שחבורה כללית היא לאו דווקא קומוטטיבית (כפי שראינו בדוגמאות בסעיף הקודם) ובמקרים כאלו צמצום משמאל לא יגרור צמצום מימין.

טענה 5: הנגדי של הנגדי

בחבורה $(G,+)$ לכל $a\in G$ מתקיים $-(-a)=a$ .

הוכחה: ${\begin{aligned}(-a)+(-(-a))&=^{(1)}0_{G}\\&=^{(2)}(-a)+a\end{aligned}}$ ואז, לפי צמצום משמאל מתקיים: $-(-a)=a$
הסבר מעברים:
(1) תכונות של איבר נגדי
(2) תכונות של איבר נגדי

טענה 6:

לכל $a,b\in G$ מתקיים $-(a+b)=(-b)+(-a)$ .

הוכחה: ${\begin{aligned}(a+b)+((-b)+(-a))&=^{(1)}a+(b+((-b)+(-a)))\\&=^{(2)}a+((b+(-b))+(-a))\\&=^{(3)}a+(0_{G}+(-a))\\&=^{(4)}a+(-a)\\&=^{(5)}0_{G}\end{aligned}}$ ומכאן, לפי יחידות הנגדי מתקיים: $-(a+b)=(-b)+(-a)$
הסבר מעברים:
(1) אסוציאטיביות
(2) אסוציאטיביות
(3) תכונות של איבר נגדי
(4) תכונות של איבר נייטרלי
(5) תכונות של איבר נגדי

פעולות איטרטיביות

בחלק זה נשתמש בהגדרה הבאה: ${\begin{matrix}\forall a\in G:\quad 0\cdot a:=0_{G}\\\forall a\in G\,\forall n\in \mathbb {N} :\quad n\cdot a:=(n-1)\cdot a+a\\\forall a\in G\,\forall n\in \mathbb {N} :\quad (-n)\cdot a:=n\cdot (-a)\end{matrix}}$ בצורה זו, הגדרנו כפל של מספר שלם באיברי החבורה. באופן אנלוגי נוכל להעביר כתיב זה לכתיב של חבורה כפלית כאשר שם יסומן $n\cdot a=a^{n}$ .