מבנים אלגבריים/חבורות/תת חבורות נורמאליות

באחד הפרקים הקודמים דיברנו על מחלקות של ח"ח ועל כך שבאיזשהו מובן, המחלקות "מחלקות" את החבורה ועל עיקרון זה בעצם נשען משפט לגרנז' שהוכח בפרק הנ"ל. כעת עולה שאלה חשובה, לאחר ש"חילקנו" את החבורה, האם נוכל להשרות מבנה של חבורה על החלקים החדשים שנוצרו? כמובן שסתם חבורה לא תספיק ונרצה חבורה שיהיה לה קשר כלשהו עם המבנה שהתחלנו איתו והמבנה של הח"ח שהשתמשנו בה.

על השאלה לעיל נענה בהרחבה בפרק הבא, ובפרק זה ניתן אפיון מעניין של ח"ח מסוימות שהן, כפי שיתברר, החבורות החלקיות הנחוצות כדי לבצע את ה"חלוקה" בצורה כזו שהשאלה לעיל תיענה בחיוב.

הגדרה של ח"ח נורמאלית ודוגמאות

הגדרה: חבורה חלקית נורמאלית תהי חבורה $\ (X,\cdot ,1_{X})$. הח"ח $\ D\leq X$ תיקרא חבורה חלקית נורמאלית אםם מתקיים: $\ \forall x\in X\quad xD=Dx$ ובמקרה זה נסמן: $\ N\triangleleft G$.

קל להיווכח שכל חבורה היא חח"נ (חבורה חלקית נורמאלית) של עצמה וכן לגבי החבורה החלקית שמכילה את האיבר הניטרלי בלבד.

משפט: איפיונים של חח"נ (חבורה חלקית נורמאלית) בהינתן $\ (G,\cdot )$ ו $\ N\leq G$, התנאים הבאים שקולים: $\ \forall g\in G\quad g^{-1}Ng\subseteq N$ $\ \forall g\in G\quad g^{-1}Ng=N$ $\ \forall g\in G\quad Ng=gN$ $\ \forall a,b\in G\quad (aN)(bN)=(ab)N$ קל לראות שח"ח המקיימת אחת מהתכונות לעיל היא חח"נ.

ההוכחה למשפט הנ"ל מאוד קלה ומומלץ לקורא לנסות להוכיח אותה לבד מבלי להסתכל על ההוכחה המובאת למטה.

הוכחה: $\ (1)\Rightarrow (2)$:

נניח $\ \forall a\in G\quad g^{-1}Ng\subseteq N$.

בפרט, $\ \forall a\in G\quad gNg^{-1}\subseteq N$

$\ N=g^{-1}(gNg^{-1})g\subseteq g^{-1}Ng\subseteq N$

$\ \Downarrow$ $\ N=g^{-1}Ng$

$\ (2)\Rightarrow (3)$:

נניח $\ \forall g\in G\quad g^{-1}Ng=N$.

יהי $\ n\in N$ אזי, $\ ng\in Ng$. וכן, קיים $\ n'\in N$ כך שמתקיים:

$\ g^{-1}ng=n'\Leftrightarrow ng=gn'\in gN$

וכן, מתקיים: $\ \forall g\in G\quad gNg^{-1}=N$ (נסו להבהיר לעצמכם למה.)

לכן, יהי $\ n\in N$ אזי, $\ gn\in gN$. וכן, קיים $\ n'\in N$ כך שמתקיים:

$\ gng^{-1}=n'\Leftrightarrow gn=n'g\in Ng$

ומכאן: $\ \forall g\in G\quad Ng=gN$

$\ (3)\Rightarrow (4)$:

יהיו $\ a,b\in G$.

$\ (aN)(bN)=^{(1)}(aN)(Nb)=^{(2)}(aN)b=^{(3)}(Na)b=^{(4)}N(ab)=^{(5)}=(ab)N$

הסבר מעברים:
(1) לפי תנאי(3)
(2) כי $\ N$ ח"ח
(3) לפי תנאי (3)
(4) הוכח כתרגיל
(5) לפי תנאי (3)

$\ (4)\Rightarrow (1)$:

נניח $\ \forall a,b\in G\quad (aN)(bN)=(ab)N$. ויהי $\ g\in G$ . אזי מ(4), נובע:

$\ (gN)(g^{-1}N)=N$ $\ \forall n,n'\in N\,\,\,\exists n^{*}\in N\quad gng^{-1}n'=n^{*}\Leftrightarrow gng^{-1}=n^{*}(n')^{-1}\in N$

מאפיינים אלו שימושיים מאוד בהוכחה שח"ח מסויימת היא נורמאלית, אנחנו נראה את השימושים הרבים שיש לחח"נ בהמשך הספר, ובכלל, חשוב שהקורא ישים לב שהוא מבין היטב את ההגדרות ואת המשפט לעיל, שכן מעתה ואיך נשתמש באחד האפיונים של חח"נ מבלי לציין זאת באופן ספציפי.

כמו כן, ראוי לציין שאין אלו האפיונים היחידים לחח"נ, ובהמשך נראה שיש עוד דרכים רבות להגדיר חבורה חלקית נורמאלית ורובן חשובות מאוד ומפתיעות.

טענות בסיסיות הנוגעות לח"ח נורמאליות

טענה: הגרעין הוא ח"ח נורמאלית בהינתן $\ (G,\cdot ),(X,*)$ חבורה ו$\ \phi :G\rightarrow X$ הומומורפיזם של חבורות, אזי $\ {\text{ker}}(\phi )\triangleleft G$.

הוכחה: יהי $\ g\in G$ אזי לכל $\ z\in {\text{ker}}(\phi )$ מתקיים

$\ \phi (gzg^{-1})=\phi (g)\phi (z)\phi (g^{-1})=\phi (g)(\phi (g))^{-1}=1$

ומכאן שמתקיים

$\ gzg^{-1}\in {\text{ker}}(\phi )$

וכיוון שבחרנו ב$\ g,z$ שרירותית, מתקיים

$\ g{\text{ker}}(\phi )g^{-1}\subseteq {\text{ker}}(\phi )$

מה שמסיים את ההוכחה.

טענה: בהינתן $\ (G,\cdot )$ חבורה ויהיו $\ A,B,B'\leq G$ כך ש$\ B\triangleleft B'$ אזי מתקיים: $\ A\cap B\triangleleft A\cap B'$

טענה: מכפלה של תת-חבורות בהינתן $\ (G,\cdot )$ חבורה ויהיו $\ A,B\leq G$, אזי מתקיימים: $\ AB=BA$ אםם $\ AB\leq G$ אם $\ A\triangleleft G$ אז $\ AB\triangleleft G$ (ובפרט $\ AB\leq G$.)

חבורות פשוטות

היות ותת-חבורות נורמאליות הן מעין אבני הבניין שמרכיבים את החבורות (נראה את זה באופן מדויק יותר בפרקים הבאים על מרחבי מנה ומשפטי סילו), נרצה לתת שם מיוחד לאותן חבורות שלא ניתן "לפרק" אותן.

הגדרה: חבורה פשוטה חבורה G שאין לה תת-חבורות נורמאליות לא טריויאליות תקרא חבורה פשוטה

דוגמאות

• החבורה $\left(\mathbb {Z} _{2},+\right)$ היא חבורה פשוטה, שכן התת-חבורה היחידה שלה היא החבורה הטריביאלית, לכן אין לה תת-חבורות לא טריביאליות, ובפרט אין לה ח"ח לא טריביאליות נורמאליות.
• אנטי דוגמה: החבורה $\left(\mathbb {Z} ,+\right)$ היא לא חבורה פשוטה כי $2\mathbb {Z}$ ח"ח לא טריביאלית שלה, ומאבליות של $\mathbb {Z}$ נקבל שהיא ח"ח נורמאלית.

קומוטטורים

הגדרה

הגדרה: קומוטטור בהינתן $\ (G,\cdot )$ חבורה ו$\ x,y\in G$. הקומוטטור של $\ x$ ו$\ y$ הוא $\ [x,y]=x^{-1}y^{-1}xy$

באופן אינטואטיבי, הקומוטטור נותן לנו מושג על עד כמה שני האיברים מתחלפים.

טענה: זהויות של הקומוטטור למען הפשטות בסימונים של הטענה, רק בסעיף זה נשתמש בסימון הלא קונבנציונאלי: $\ x^{t}=t^{-1}xt$ ${[x,y]}^{t}=[x^{t},y^{t}]\,$ $x^{y}=x[x,y]\,$ $[y,x]=[x,y]^{-1}\,$ $[xy,z]=[x,z]^{y}\cdot [y,z]$ וגם $[x,yz]=[x,z]\cdot [x,y]^{z}$ $[x,y^{-1}]=[y,x]^{y^{-1}}$ וגם $[x^{-1},y]=[y,x]^{x^{-1}}$ $[[x,y^{-1}],z]^{y}\cdot [[y,z^{-1}],x]^{z}\cdot [[z,x^{-1}],y]^{x}=1$ $[[x,y],z^{x}]\cdot [[z,x],y^{z}]\cdot [[y,z],x^{y}]=1$

מומלץ לקורא לנסות להוכיח את הטענות הללו לבד לשם תרגול של החומר וההגדרות.

טענה: קומוטטור נשמר תחת הומומורפיזם בהינתן $\ (G,\cdot ),(H,*)$ חבורות ו$\ f:G\rightarrow H$ הומומורפיזם, אזי $\ \forall x,y\in G\,\,\,f([x,y])=[f(x),f(y)]$

תת-חבורת הקומוטטורים (החבורה הנגזרת)

הגדרה: תת-חבורת הקומוטטורים בהינתן $\ (G,\cdot )$ חבורה, נסמן: $\ [G,G]=<\!\{[x,y]\,\,|\,\,x,y\in G\}\!>$ במילים: זוהי הח"ח הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של G.

טענה: תת-חבורת הקומוטטורים היא חח"נ בהינתן $\ (G,\cdot )$ חבורה, $\ [G,G]\triangleleft G$.

המרכז של חבורה והמנמרל והממרכז (סנטרלייזר) של איבר בחבורה

בסעיף זה אנחנו נחקור עד כמה החבורה היא חילופית (או לא) ועד כמה האיברים בחבורה הם חילופיים (או לא). נתחיל את העבודה במספר הגדרות:

הגדרה: ממרכז של איבר בחבורה בהינתן חבורה $\ (X,\cdot ,1_{X})$ ואיבר בחבורה $\ a\in X$, הקבוצה הבאה תיקרא הממרכז (או סנטרלייזר) של $\ a$: $\ C_{X}(a)=\{x\in X|xa=ax\}$

הגדרה: המרכז של חבורה בהינתן חבורה $\ (X,\cdot ,1_{X})$. הקבוצה הבאה תיקרא המרכז של החבורה: $\ {\text{Z}}(X)=\{x\in X|\forall a\in X\quad xa=ax\}$

הפרק הקודם: הומומורפיזמים

תת חבורות נורמאליות

הפרק הבא: חבורות מנה