מבנים אלגבריים/הקדמה/תמורות

הפירוש המילולי של המילה "תמורה" הוא שינוי. אכן, לאחר קריאת ההגדרה, יוכל הקורא להווכח בקלות בדמיון הרב שיש בין ההגדרה המילולית להגדרה המתמטית ואולי אף יוכל לדמיין לעצמו את העניין הרב שמצאו (ועדיין מוצאים) המתמטיקאים (ואלה המתמחים באלגברה בפרט) במושג התמורה.

אין ספק שהמושג של תמורה עיקרי באלגברה ובאלגברה ליניארית, ובלעדיו אין הלימוד של מבנים אלגברים שלם, שכן, משפטים רבים נסתמכים על ידע בתמורות ואפילו מראים שישנן "צורות קנוניות" של חבורות בדמות חבורת תמורות, ועל כן תרומתן רבה.

הגדרות בסיסיות

נתחיל בהגדרה של תמורה על קבוצה כללית כלשהי ונמשיך משם:

הגדרה: תמורה על קבוצה S תהי $\ S$ קבוצה כלשהי. הפונקציה $\sigma :S\rightarrow S$ תיקרא תמורה של $\ S$ אםם $\ \sigma$ חח"ע ועל

כמובן שקל לראות שעבור כל קבוצה בהכרח קיימת העתקה חח"ע ועל ממנה לעצמה, והיא העתקת הזהות. בפרק זה נסמן את העתקת הזהות בתור $\ id$.

באופן טבעי נגדיר הרכבה של תמורות כך:

הגדרה: הרכבה של תמורות תהי $\ S$ קבוצה כלשהי. ויהיו $\ \sigma ,\tau$ תמורות כלשהן של $\ S$. נגדיר: $\forall x\in S\quad (\sigma \circ \tau )(x)=\sigma (\tau (x))$ לעיתים נשתמש בסימון $\ \sigma \circ \tau =\sigma \tau$ .

הקורא ימצא שאין זה קשה להוכיח שהרכבה של תמורות היא תמורה בעצמה. כמו כן, הטענה הבאה היא טריוואלית:

טענה: תמורה הפכית לכל תמורה $\ \sigma$ של הקבוצה $\ S$, קיימת תמורה $\ \tau$ כך שמתקיים: $\ \sigma \circ \tau =id$

הגדרה חשובה נוספת בהקשר של תמורות:

הגדרה: נקודות שבת איבר $\ x\in S$ כך שמתקיים $\ \sigma (x)=x$ נקרא נקודת שבת של התמורה $\sigma$.

תמורות של קבוצה סופית

לפני שנתחיל להתעסק בנושא העיקרי של פרק זה, נזדקק לעוד הגדרה קטנה:

הגדרה: בהינתן $\ n\in \mathbb {N}$ נסמן: $\ [n]=\{1,2,\ldots ,n\}$

הגדרה

הגדרה: תמורה על קבוצה סופית תמורה על קבוצה סופית בת n איברים היא תמורה $\ \sigma :[n]\rightarrow [n]$.

חשוב לציין, אמנם הבטחנו שנגדיר תמורה מעל קבוצה סופית כלשהי, אבל אין בכך צורך, שכן כל קבוצה סופית שקולה במובן של קרדינלים לאיזושהי קבוצה $\ [n]$ (עד כדי שינוי שמות האיברים וסידורם).

דוגמאות

1. תמורת הזהות $\forall i\in [n]\quad id(i)=i$
2. התמורה $\ \sigma :[3]\rightarrow [3]$ המוגדרת ע"י $\ \sigma (1)=2;\quad \sigma (2)=3;\quad \sigma (3)=1$
3. התמורה $\ \sigma :[3]\rightarrow [3]$ המוגדרת ע"י $\ \sigma (1)=3;\quad \sigma (2)=2;\quad \sigma (3)=1$

סימון מטריצאלי

כפי שניתן לראות, סימון של תמורה ספציפית יכול להעשות די מסורבל בקבוצות סופיות. על כן הומצא הסימון המטריצאלי לתמורות.

הגדרה: סימון מטריצאלי לתמורות בהינתן $\ \sigma :[n]\rightarrow [n]$ נסמן את התמורה באופן הבא: $\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\\sigma (1)&\sigma (2)&\cdots &\sigma (n)\end{pmatrix}}$

דוגמאות

• תמורת הזהות:

$id={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\1&2&\cdots &n\end{pmatrix}}$

• התמורה מדוגמה 2 לעיל:

$\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}$

• התמורה מדוגמה 3 לעיל:

$\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}$

תכונות בסיסיות של תמורות

הפרק הקודם: קצת תורת המספרים

תמורות

הפרק הבא: חבורות