לדלג לתוכן

מבנים אלגבריים/חבורות/חבורות מנה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

הגדרה

[עריכה]

הגדרה: חבורת מנה

תהי חבורה ו אזי נוכל להגדיר את הקבוצה:

[הערה: ההגדרה הנ"ל יכולה להתבצע גם אם N היא לא חבורה נורמאלית, אבל אז הטענה הבאה תהיה שקרית.]


טענה: חבורת המנה היא אכן חבורה

היא חבורה ביחס לפעולת הכפל:


הוכחה: ראשית עלינו להראות שהכפל שהגדרנו מוגדר היטב ולא תלוי בנציגים a ו b. לכן, יהיו וכן . עלינו להוכיח שמתקיים: .

יהי כלשהו.

נתון:

לכן, קיים כך שמתקיים

נתון: חח"נ. לכן מתקיים:

מכאן, קיים כך שמתקיים

נתון: חח"נ. לכן מתקיים:

מכאן, קיים כך שמתקיים .

נתון: חח"נ. לכן מתקיים:

לכן, קיים כך שמתקיים מכאן נקבל ש

[הערה: כביכול בהוכחה הוכחנו רק הכלה לכיוון אחד, אבל בפועל אפשר לשחזר את כל מה שעשינו כאן בכיוון השני ולקבל את ההוכחה המלאה.]

כעת, נראה שהאקסיומות של חבורה מתקיימות עבור הקבוצה הנ"ל:

  • סגירות: מתקיימת לפי ההגדרה של כפל.
  • אסוציאטיביות: יהיו . אזי מתקיים:

  • קיום איבר יחידה: לכל נשים לב שמתקיים:

לכן, קיים איבר יחידה והוא .
  • קיום איבר הפכי: לכל נשים לב שמתקיים:

ומכאן הטענה.


דוגמאות

[עריכה]

ההומומורפיזם הטבעי

[עריכה]

הגדרה: העתקה הטבעית או ההומומורפיזם הטבעי או ההטלה הטבעית

בהינתן חבורה ו נגדיר את ההעתקה: מוגדרת ע"י:

[הערה: כשיהיה ספק בנוגע לחח"נ נסמן את העתקה .]

כמובן, שיש צורך להוכיח שהעתקה הטבעית היא הומומורפיזם כפי שאנו טוענים בהגדרתה.

טענה: ההעתקה הטבעית היא הומומורפיזם

מגדיר הומומורפיזם .

הוכחה: ישירות מההגדרה, מתקיים לכל

ומכאן הטענה.


נראה כעת דוגמה לשימוש בהומומורפיזם הטבעי כדי להוכיח למה מאוד שימושית:



למה "ההטלה הטבעית של חח"נ היא חח"נ"

בהינתן חבורה ו אזי מתקיים


הוכחה: נשים לב שמתקיים:

יהי . יהיה , אזי קיים כך שמתקיים (כי חח"נ.) לכן, מתקיים:

לכן, לפי משפט שהוכחנו מדובר בחח"נ, ובזאת הוכחה הטענה.




משפט: משפט ההתאמה

תהא חבורה. אם אזי יש התאמה חח"ע ועל בין החבורות החלקיות של המכילות את ובין החבורות החלקיות של .


הוכחה: ראשית נגדיר את העתקה: ע"י:

כעת עלינו להוכיח שהעתקה זו היא אכן חח"ע ועל.

  • חד-חד ערכיות:יהיו כך ש וכך ש
כעת יהי אזי לכן, קיים כך שמתקיים לכן, מתקיים:

לכן, קיים כך שמתקיים: . לכן, כיוון שההכלה היא סימטרית לחלוטין, מתקיים: .
  • על: תהי . נסמן:

נראה שמתקיים אבל ראשית, עלינו להוכיח ש .
יהי , אזי, מכיוון ש מתקיים שבהכרח, . לכן .
כעת, יהי . אזי קיים כך ש לכן, . לכן, מתקיים ש ומכאן שמתקיים, . ההכלה בכיוון השני טריביאלית.


אפיון של חבורות חלקיות נורמאליות

[עריכה]

משפט: חח"נ היא גרעין של הומומורפיזם

תהי חבורה. אזי אם , קיים הומומורפיזם כך ש


הוכחה: ההומומורפיזם המבוקש הוא כפי שהוגדר לעיל, ההוכחה טריביאלית.


מכאן, אנחנו למדים בעצם שכל חבורה חלקית נורמאלית היא בעצם גרעין של איזשהו הומומורפיזם. ובכלל, הצלחנו לבנות את ההומומורפיזם המבוקש.

הפרק הקודם:
תת חבורות נורמאליות
חבורות מנה הפרק הבא:
משפטי האיזומורפיזמים