מבנים אלגבריים/חבורות/חבורות מנה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הגדרה[עריכה]

הגדרה: חבורת מנה

תהי חבורה ו אזי נוכל להגדיר את הקבוצה:

[הערה: ההגדרה הנ"ל יכולה להתבצע גם אם N היא לא חבורה נורמאלית, אבל אז הטענה הבאה תהיה שקרית.]


טענה: חבורת המנה היא אכן חבורה

היא חבורה ביחס לפעולת הכפל:


הוכחה: ראשית עלינו להראות שהכפל שהגדרנו מוגדר היטב ולא תלוי בנציגים a ו b. לכן, יהיו וכן . עלינו להוכיח שמתקיים: .

יהי כלשהו.

נתון:

לכן, קיים כך שמתקיים

נתון: חח"נ. לכן מתקיים:

מכאן, קיים כך שמתקיים

נתון: חח"נ. לכן מתקיים:

מכאן, קיים כך שמתקיים .

נתון: חח"נ. לכן מתקיים:

לכן, קיים כך שמתקיים מכאן נקבל ש

[הערה: כביכול בהוכחה הוכחנו רק הכלה לכיוון אחד, אבל בפועל אפשר לשחזר את כל מה שעשינו כאן בכיוון השני ולקבל את ההוכחה המלאה.]

כעת, נראה שהאקסיומות של חבורה מתקיימות עבור הקבוצה הנ"ל:

  • סגירות: מתקיימת לפי ההגדרה של כפל.
  • אסוציאטיביות: יהיו . אזי מתקיים:

  • קיום איבר יחידה: לכל נשים לב שמתקיים:

לכן, קיים איבר יחידה והוא .
  • קיום איבר הפכי: לכל נשים לב שמתקיים:

ומכאן הטענה.


מש"ל.PNG

דוגמאות[עריכה]

ההומומורפיזם הטבעי[עריכה]

הגדרה: העתקה הטבעית או ההומומורפיזם הטבעי או ההטלה הטבעית

בהינתן חבורה ו נגדיר את ההעתקה: מוגדרת ע"י:

[הערה: כשיהיה ספק בנוגע לחח"נ נסמן את העתקה .]

כמובן, שיש צורך להוכיח שהעתקה הטבעית היא הומומורפיזם כפי שאנו טוענים בהגדרתה.

טענה: ההעתקה הטבעית היא הומומורפיזם

מגדיר הומומורפיזם .

הוכחה: ישירות מההגדרה, מתקיים לכל

ומכאן הטענה.


מש"ל.PNG

נראה כעת דוגמה לשימוש בהומומורפיזם הטבעי כדי להוכיח למה מאוד שימושית:



למה "ההטלה הטבעית של חח"נ היא חח"נ"

בהינתן חבורה ו אזי מתקיים


הוכחה: נשים לב שמתקיים:

יהי . יהיה , אזי קיים כך שמתקיים (כי חח"נ.) לכן, מתקיים:

לכן, לפי משפט שהוכחנו מדובר בחח"נ, ובזאת הוכחה הטענה.


מש"ל.PNG



משפט: משפט ההתאמה

תהא חבורה. אם אזי יש התאמה חח"ע ועל בין החבורות החלקיות של המכילות את ובין החבורות החלקיות של .


הוכחה: ראשית נגדיר את העתקה: ע"י:

כעת עלינו להוכיח שהעתקה זו היא אכן חח"ע ועל.

  • חד-חד ערכיות:יהיו כך ש וכך ש
כעת יהי אזי לכן, קיים כך שמתקיים לכן, מתקיים:

לכן, קיים כך שמתקיים: . לכן, כיוון שההכלה היא סימטרית לחלוטין, מתקיים: .
  • על: תהי . נסמן:

נראה שמתקיים אבל ראשית, עלינו להוכיח ש .
יהי , אזי, מכיוון ש מתקיים שבהכרח, . לכן .
כעת, יהי . אזי קיים כך ש לכן, . לכן, מתקיים ש ומכאן שמתקיים, . ההכלה בכיוון השני טריביאלית.


מש"ל.PNG

אפיון של חבורות חלקיות נורמאליות[עריכה]

משפט: חח"נ היא גרעין של הומומורפיזם

תהי חבורה. אזי אם , קיים הומומורפיזם כך ש


הוכחה: ההומומורפיזם המבוקש הוא כפי שהוגדר לעיל, ההוכחה טריביאלית.


מש"ל.PNG

מכאן, אנחנו למדים בעצם שכל חבורה חלקית נורמאלית היא בעצם גרעין של איזשהו הומומורפיזם. ובכלל, הצלחנו לבנות את ההומומורפיזם המבוקש.

הפרק הקודם:
תת חבורות נורמאליות
חבורות מנה הפרק הבא:
משפטי האיזומורפיזמים