הגדרה: חבורת מנה
תהי חבורה ו אזי נוכל להגדיר את הקבוצה:
[הערה: ההגדרה הנ"ל יכולה להתבצע גם אם N היא לא חבורה נורמאלית, אבל אז הטענה הבאה תהיה שקרית.]
|
טענה: חבורת המנה היא אכן חבורה
היא חבורה ביחס לפעולת הכפל:
|
הוכחה: ראשית עלינו להראות שהכפל שהגדרנו מוגדר היטב ולא תלוי בנציגים a ו b. לכן, יהיו
וכן . עלינו להוכיח שמתקיים: .
יהי כלשהו.
נתון:
לכן, קיים כך שמתקיים
נתון:
חח"נ. לכן מתקיים:
מכאן, קיים כך שמתקיים
נתון:
חח"נ. לכן מתקיים:
מכאן, קיים כך שמתקיים .
נתון:
חח"נ. לכן מתקיים:
לכן, קיים כך שמתקיים מכאן נקבל ש
[הערה: כביכול בהוכחה הוכחנו רק הכלה לכיוון אחד, אבל בפועל אפשר לשחזר את כל מה שעשינו כאן בכיוון השני ולקבל את ההוכחה המלאה.]
כעת, נראה שהאקסיומות של חבורה מתקיימות עבור הקבוצה הנ"ל:
- סגירות: מתקיימת לפי ההגדרה של כפל.
- אסוציאטיביות: יהיו . אזי מתקיים:
- קיום איבר יחידה: לכל נשים לב שמתקיים:
- לכן, קיים איבר יחידה והוא .
- קיום איבר הפכי: לכל נשים לב שמתקיים:
ומכאן הטענה.
ההומומורפיזם הטבעי
[עריכה]
הגדרה: העתקה הטבעית או ההומומורפיזם הטבעי או ההטלה הטבעית
בהינתן חבורה ו נגדיר את ההעתקה:
מוגדרת ע"י:
[הערה: כשיהיה ספק בנוגע לחח"נ נסמן את העתקה .]
|
כמובן, שיש צורך להוכיח שהעתקה הטבעית היא הומומורפיזם כפי שאנו טוענים בהגדרתה.
טענה: ההעתקה הטבעית היא הומומורפיזם
מגדיר הומומורפיזם .
|
הוכחה: ישירות מההגדרה, מתקיים לכל
ומכאן הטענה.
נראה כעת דוגמה לשימוש בהומומורפיזם הטבעי כדי להוכיח למה מאוד שימושית:
למה "ההטלה הטבעית של חח"נ היא חח"נ"
בהינתן חבורה ו אזי מתקיים
|
הוכחה: נשים לב שמתקיים:
יהי . יהיה , אזי קיים כך שמתקיים
(כי חח"נ.)
לכן, מתקיים:
לכן, לפי משפט שהוכחנו מדובר בחח"נ, ובזאת הוכחה הטענה.
הוכחה:
ראשית נגדיר את העתקה: ע"י:
כעת עלינו להוכיח שהעתקה זו היא אכן חח"ע ועל.
- חד-חד ערכיות:יהיו כך ש וכך ש
- כעת יהי אזי לכן, קיים כך שמתקיים לכן, מתקיים:
- לכן, קיים כך שמתקיים: . לכן, כיוון שההכלה היא סימטרית לחלוטין, מתקיים: .
- על: תהי . נסמן:
- נראה שמתקיים אבל ראשית, עלינו להוכיח ש .
- יהי , אזי, מכיוון ש מתקיים שבהכרח, . לכן .
- כעת, יהי . אזי קיים כך ש לכן, . לכן, מתקיים ש ומכאן שמתקיים, . ההכלה בכיוון השני טריביאלית.
אפיון של חבורות חלקיות נורמאליות
[עריכה]
משפט: חח"נ היא גרעין של הומומורפיזם
תהי חבורה. אזי אם , קיים הומומורפיזם כך ש
|
הוכחה:
ההומומורפיזם המבוקש הוא כפי שהוגדר לעיל, ההוכחה טריביאלית.
מכאן, אנחנו למדים בעצם שכל חבורה חלקית נורמאלית היא בעצם גרעין של איזשהו הומומורפיזם. ובכלל, הצלחנו לבנות את ההומומורפיזם המבוקש.