מבנים אלגבריים/חבורות/מחלקות (קוסטים)

כל ניסיון לתת אינטואיציה לרעיון של מחלקות (COSET בלועזית) של חבורה נועד לכשלון מלכתחילה. המבנה של מחלקות נותן לנו אפשרות, בהינתן תת-חבורה, לנתח את מבנה החבורה "מתוך" התת־חבורה הזו. האינטואיציה המופשטת של הרעיון הזה תתבהר ככל שנתקדם בפרק.

אלא אם כן נאמר אחרת, בפרק זה נדון בחבורה $(G,*)$ כפלית כלשהיא.

הגדרה ודוגמאות

נתחיל את הפרק בהגדרה יבשה:

הגדרה: מחלקות שמאליות בהינתן $D\subseteq G$ תת־חבורה ו־$a\in G$ הקבוצה: $aD=\{ad:d\in D\}$ תיקרא מחלקה שמאלית של $D$ ב־$G$.

שימו לב: #מחלקה שמאלית היא בדרך כלל לא תת-חבורה (הקורא מוזמן למצוא דוגמאות לכאן ולכאן כדי להיווכח בעובדה הנ"ל). בכתיב חיבורי מחלקה שמאלית כדלעיל תראה כך: $a+D=\{a+d:d\in D\}$ אין שום דבר מיוחד בצד שמאל, ניתן להגדיר באופן דומה גם מחלקות ימניות כך: $Da=\{da:d\in D\}$ בחבורה חילופית כל מחלקה ימנית היא גם מחלקה שמאלית.

דוגמאות

• נסתכל על החבורה $(\mathbb {Q} ,+)$. אזי מחלקה שמאלית של $\mathbb {Z}$ לדוגמה תהיה:

${\tfrac {1}{2}}+\mathbb {Z} ={\Big \{}{\tfrac {1}{2}}+n:n\in \mathbb {Z} {\Big \}}$

יחס השקילות מודולו

כעת נכליל את המושג של שיוויון מודולו במספרים שלמים לחבורות כלליות. זהו הצעד הראשון בדרך להכליל את המספרים השלמים ואת תכונת החלוקה שלהם.

הגדרה: שקילות מודולו תהי $D\subseteq G$ תת־חבורה ויהיו $x,y\in G$. נאמר כי x שקול ל־y מודולו D אםם מתקיים $xD=yD$. במקרה זה נרשום $x\equiv y\!\!\!{\pmod {D}}$.

הגיע הזמן להצדיק את השימוש במונח "שקילות" ולהוכיח שאכן, זהו יחס שקילות: (אם הקורא רוצה להיזכר ביחסי שקילות מומלץ לו לעבור על הפרק יחסים)

טענה: שקילות מודולו היא יחס שקילות תהי $D\subseteq G$ תת־חבורה, היחס $\equiv \!\!\!\!{\pmod {D}}$ הוא יחס שקילות.

הוכחה: יהיו $x,y,z\in G$ כלשהם. אזי מתקיים:

• רפלקסיביות: $xD=xD$ ולכן מתקיים $x\equiv x\!\!\!{\pmod {D}}$
• סימטריות: $xD=yD\,\Rightarrow \,yD=xD$ מכאן $x\equiv y\!\!\!{\pmod {D}}\,\Rightarrow \,y\equiv x\!\!\!{\pmod {D}}$.
• טרנזיטיביות: נניח $x\equiv y\!\!\!{\pmod {D}}$ וגם $y\equiv z\!\!\!{\pmod {D}}$. אזי מתקיים: $xD=yD$ מהשוויון הראשון. $yD=zD$ מהשוויון השני. מכאן, לפי טרנזיטיביות של שוויון בין קבוצות מתקיים:

$xD=zD$.

למה תהי $D\subseteq G$ תת־חבורה ויהיו $x,y\in G$. אם מתקיים $x\in yD$. אז מתקיים $x\equiv y\mod D$.

הוכחה: מספיק להוכיח שמתקיים $xD=yD$. נראה הכלה בשני הכיוונים.

קיים $d\in D$ עבורו $x=yd$.

$\subseteq$: יהי $a\in xD$. מכאן קיים $d'\in D$ עבורו

$\ a=xd'=(yd)d'=y(dd')$

וכיוון ש $\ D$ תת-חבורה, $\ dd'\in D$ ומכאן: $\ y(dd')\in yD$ ולכן: $\ a\in yD$.

$\supseteq$: יהי $\ b\in yD$ לכן קיים $\ d^{\#}\in D$ כך ש $\ b=yd^{\#}$.

נסמן: $\ d^{*}=d^{-1}d^{\#}$ ומכאן $\ dd^{*}=d^{\#}$ .

$b=yd^{\#}=y(dd^{*})=(yd)d^{*}=xd^{*}\in xD$

למה תהי $\ D\subseteq G$ ח"ח ויהיו $\ x,y\in G$. אזי, התנאים הבאים שקולים: $\ y^{-1}x\in D$ $\ x\equiv y\mod D$ קיים $\ d\in D$ כך שמתקיים $\ x=yd$.

הוכחה: $\ (1)\Rightarrow (2)$: קיים $\ d\in D$ כך שמתקיים $\ y^{-1}x=d$ ומכאן מתקיים $\ x=yd\in yD$.

לכן לפי הלמה הקודמת מתקיים $\ x\equiv y\mod D$

$\ (2)\Rightarrow (3)$: נתון $\ xD=yD$. מכאן:

$x\in xD\Rightarrow x\in yD\Rightarrow \exists d\in D\quad x=yd$

$\ (3)\Rightarrow (1)$: נתון שקיים $\ d\in D$ כך שמתקיים $\ x=yd$. מכאן

$y^{-1}x=d\in D$

כפי שהוכחנו לעיל, היחס שקילות מודולו עבור ח"ח כלשהי הוא יחס שקילות. מכאן, שניתן לדבר גם על מחלקות השקילות של אותו יחס.

הגדרה: מחלקת שקילות מודולו תהי $\ D\subseteq G$ ח"ח ו$\ x\in G$. אזי נסמן: $[x]_{D}=\left\{a\in G|a\equiv x\mod D\right\}$

המשפט הבא ייתן לנו אפיון מלא של מחלקות השקילות האלה:

משפט: תהי $\ D\subseteq G$ ח"ח ו$\ x\in G$ אזי: $\ [x]_{D}=xD$

הוכחה: נראה הכלה בשני הכיוונים.

$\subseteq$: יהי $a\in [x]_{D}$ אזי $\ a\equiv x\mod D$ מכאן לפי הטענה הקודמת:

$a\in aD=xD$

$\supseteq$: יהי $b\in xD$ , אזי לפי הלמה הקודמת: $\ b\equiv x\mod D$ ומכאן $b\in [x]_{D}$.

מכאן, לפי התכונות של מחלקות שקילות, נוכל להסיק בנקל את הטענה הבאה:

טענה: תהי $\ D\subseteq G$ ח"ח ו$\ x,y\in G$ אזי רק אחד מהשניים מתקיים: $\ xD=yD$ $xD\cap yD=\emptyset$

האינדקס של תת-חבורה

הגדרה: האינדקס השמאלי של ח"ח תהי $\ D\subseteq G$ ח"ח, מספר המחלקות השמאליות של $\ D$ יקרא האינדקס השמאלי של $\ D$ ויסומן: $\ [G:D]_{L}$

ובאופן אנאלוגי:

הגדרה: האינדקס הימני של ח"ח תהי $\ D\subseteq G$ ח"ח, מספר המחלקות הימניות של $\ D$ יקרא האינדקס הימני של $\ D$ ויסומן: $\ [G:D]_{R}$

כעת נראה שההגדרה השנייה היא מיותרת:

משפט: האינדקס הימני שווה לאינדקס השמאלי תהי $\ D\subseteq G$ ח"ח. אזי מתקיים, $\ [G:D]_{R}=[G:D]_{L}$. לכן את המילה "שמאלי" או "ימני" ניתן להשמיט מההגדרות והסימון לאינדקס של ח"ח יהיה $\ [G:D]$.

הוכחה: תהי $\ D\leq G$. נסמן:

$\ L_{D}=\{xD|x\in G\}\quad \quad R_{D}=\{Dx|x\in G\}$

(כלומר, אלו קבוצות המחלקות השמאליות והימניות של D בהתאמה)

נגדיר את הפונקציה:

$\ f(S)=\{s^{-1}|s\in S\}$

יהי $xD\in L_{D}$ אזי מתקיים:

$\ f(xD)=\{(xd)^{-1}|d\in D\}=\{d^{-1}x^{-1}|d\in D\}=\{dx^{-1}|d\in D\}=Dx^{-1}$

(על הקורא להשלים לבד את המעברים ולוודא שנכונותם ברורה לו)

כלומר, הראינו ש $\ f:L_{D}\rightarrow R_{D}$. כעת, מספיק להוכיח ש$\ f$ היא חח"ע ועל והטענה תוכח.

• חד-חד ערכיות:יהיו $\ xD,yD\in L_{D}$. אזי מתקיים:

$f(xD)=f(yD)\Rightarrow Dx^{-1}=Dy^{-1}$

נרצה להוכיח $xD=yD$ לכן, מספיק להוכיח (לפי הלמות שהוכחנו קודם לכן) כי $y\in xD$.

$x^{-1}\in Dy^{-1}\Rightarrow \exists d\in D\quad x^{-1}=dy^{-1}\Rightarrow y=xd\in xD$

• על:בקלות, יהי $\ Dg\in R_{L}$ אזי מתקיים:

$\ f(g^{-1}D)=D(g^{-1})^{-1}=Dg$

משפט לגרנז'

עד כה עסקנו בתכונות בסיסיות של חבורות שנובעות ישירות מההגדרות שנתנו. הגיע הזמן לצפות ברעיונות המעניינים שנחשפים בפנינו ובהשלכות המדהימות שלהן. אחד מהן הוא משפט לגרנז' שכבר מתחיל לרמוז לנו על הקשר המיוחד שיש בין מבנים אלגבריים לתורת המספרים.

אך לפני שנוכל לדון במשפט לגרנז' נזדקק לטענת עזר הבאה.

למה תהי $\ D\subseteq G$ ח"ח ו$\ x\in G$ כלשהו. אזי מתקיים: $\ |D|=|xD|$ או במילים אחרות, קיימת העתקה חח"ע ועל מ $\ D$ ל $\ xD$.

הוכחה: נבנה פונקציה $\ f:D\rightarrow xD$ על ידי:

$\forall d\in D\quad f(d)=xd$

נוכיח כעת ש $\ f$ היא חח"ע ועל.

• חד-חד ערכיות: יהיו $\ a,b\in D$ אזי מתקיים: (הקורא יסביר את המעברים בתור תרגיל)

$\ f(a)=f(b)\Rightarrow xa=xb\Rightarrow a=b$

• הפונקציה על: יהי $\ b\in xD$ אזי קיים $\ d\in D$ כך שמתקיים: $\ b=xd$. מכאן:

$\ f(d)=f(x^{-1}b)=x(x^{-1}b)=b$

כעת אנחנו מוכנים להוכחה המרכזית של הפרק הזה.

משפט: משפט לגרנז' תהי $\ (G,\cdot ,1_{G})$ חבורה סופית. וכן, תהי $\ D\subseteq G$ ח"ח. אזי מתקיים: $\ o(D)|o(G)$ כלומר, הסדר של כל תת-חבורה של $\ G$ מחלק את הסדר של $\ G$. או במילים אחרות, $\ o(G)=[G:D]\cdot o(D)$.

הוכחה: נסמן ב$C_{1},\ldots ,C_{m}$ את כל המחלקות השמאליות של $\ D$. לפי אחת הטענות שהוכחנו קודם, מתקיימים התנאים:

1. $G=C_{1}\cup \ldots \cup C_{m}$
2. $\ \forall i\neq j\quad C_{i}\cap C_{j}=\emptyset$

מכאן ולפי הלמה הקודמת מתקיים:

$|G|=|C_{1}|+\ldots +|C_{m}|=|D|+\ldots +|D|=m|D|$

מסקנה מעניינת ממשפט לגרנז' היא:(ההוכחה מאוד טריבאלית ונשענת על הטענות מהפרק הקודם)

למה $\forall g\in G\quad o(g)|o(G)$

כמו כן, אחת מהתוצאות המפתיעות של משפט לגרנז' היא:

טענה: חבורה בעלת סדר ראשוני היא ציקלית תהי תהי $\ (G,\cdot ,1_{G})$ חבורה סופית כך ש $\ o(G)=p$ כאשר $\ p\in \mathbb {N}$ מספר ראשוני, אזי $\ G$ חבורה ציקלית.

הוכחה: יהי $\ 1_{G}\neq g\in G$ (קיים כזה כי $\ p\geq 2$ ). לפי משפט לגרנז' מתקיים $\ o(g)|o(G)$ מכאן שמתקיים $\ o(g)=1$ או $\ o(g)=p$. כיוון ש$\ 1_{G}\neq g$. בהכרח מתקיים $\ o(<\!\!g\!\!>)=o(g)=p$ אבל כיוון שמתקיים $<\!\!g\!\!>\subseteq G$ נקבל: $<\!\!g\!\!>=G$ ומכאן הטענה.

מסקנה מעניינת בתורת המספרים היא המשפט הבא:

משפט: משפט פרמה הקטן יהי p מספר ראשוני, אזי לכל $\ a\in \mathbb {Z}$ מתקיים $\ a^{p}\equiv a\mod p$ או $\ p|(a^{p}-a)$.

הפרק הקודם: תת-חבורות

מחלקות (קוסטים)

הפרק הבא: הומומורפיזמים