סדרות נורמאליות וסדרות הרכב

הגדרות

הגדרה: סדרה נורמאלית

סדרה נורמלית של חבורה $G$ היא שרשרת של תת חבורות, שכל אחת היא תת חבורה נורמלית של קודמתה. כלומר:

$G = G_{0} ▹ G_{1} ▹ \dots ▹ G_{k}$

הגדרה: גורם הרכב

בהינתן

$G = G_{0} ▹ G_{1} ▹ \dots ▹ G_{k}$

סדרה נורמאלית. חבורת המנה $G_{i} / G_{i + 1}$ תיקרא גורם הרכב של הסדרה.

הגדרה: עידון של סדרה

עידון של סדרה הוא סדרה ארוכה יותר, הכוללת את כל תת-החבורות של הסדרה הקודמת. אפשר לעדן סדרה נתונה אם קיימת חבורה $L$ שמקיימת $G_{i} ▹ L ▹ G_{i + 1}$ , $G_{i} \neq L \neq G_{i + 1}$ . במקרה זה הסדרה

$G = G_{0} ▹ \dots ▹ G_{i} ▹ L ▹ G_{i + 1} ▹ \dots ▹ G_{k}$

היא עידון של הסדרה המקורית.

הגדרה: סדרות שקולות

בהינתן $G$ חבורה, הסדרות הנורמאליות:

$G = G_{0} ▹ G_{1} ▹ \dots ▹ G_{n}$

$G = H_{0} ▹ H_{1} ▹ \dots ▹ H_{m}$

יקראו שקולות אםם n=m וכל גורמי הרכב מתאימים הם איזומרפיים.

הגדרה: סדרת הרכב

בהינתן $G$ חבורה, סדרה נורמאלית שלה

$G = G_{0} ▹ G_{1} ▹ \dots ▹ G_{k}$

תיקרא סדרת הרכב אםם $G_{k} = {e}$ ואין לה שום עידון.

הלמה של צסנהאוס (Zassenhaus)

למה "הלמה של צסנהאוס (Zassenhaus)"

תהי $G$ חבורה כך ש $A, A^{'}, B, B^{'} \leq G$ וגם $A ◃ A^{'}$ ו $B ◃ B^{'}$ . אזי מתקיים:

$A (A^{'} \cap B) ◃ A (A^{'} \cap B^{'})$

וגם

$B (A \cap B^{'}) ◃ B (A^{'} \cap B^{'})$

וגם

$\frac{A (A^{'} \cap B^{'})}{A (A^{'} \cap B)} ≅ \frac{B (A^{'} \cap B^{'})}{B (A \cap B^{'})}$

משפט העידון של שרייר (Schrier)

משפט:

בהינתן $G$ חבורה עם סדרות נורמאליות

$G = G_{0} ▹ G_{1} ▹ \dots ▹ G_{n}$

$G = H_{0} ▹ H_{1} ▹ \dots ▹ H_{m}$

אז קיימים להם עידונים שקולים.

משפט ז'ורדן הולדר

מסקנות

חבורות פתירות

הגדרה

הגדרה: חבורה פתירה

חבורה $G$ תיקרא פתירה אםם יש לה סדרה נורמלית סופית כך שכל גורם הרכב הוא חבורה אבאלית.

דוגמאות

משפטים יסודיים

הפרק הקודם:
משפטי האיזומורפיזמים

חבורות פתירות

הפרק הבא:
פעולה של חבורה על קבוצה