מבנים אלגבריים/חבורות/הומומורפיזמים

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

עד כה עסקנו בחבורות בצורה סטאטית. כלומר, התעסקנו במבנה הכללי של חבורה ושל חבורות ספציפיות שבדקנו (ראה פרק חבורות חשובות). בפרק זה נתעסק בקשר בין חבורות שונות ובאיזשהו סוג של "דמיון" בין שתי חבורות, וזאת בעזרת פונקציות מחבורה אחת לאחרת.

כפי שהקורא כבר יכול לתאר לעצמו, לא מספיק שהפונקציות הללו יהיו סתם פונקציות מקבוצה אחת לאחרת ששניהן במקרה גם חבורות, אלא שאותה פונקציה תצטרך גם "לשמר" באיזשהו מובן את המבנה של החבורות בתחום ובטווח.

הגדרת ההומומורפיזם של חבורות[עריכה]

נתחיל את הפרק בהגדרה של הומומורפיזמים.

הגדרה: הומומורפיזם

תהיינה אזי, פונקציה המקיימת:

תיקרא הומומורפיזם של חבורות מ ל או בקיצור,כאשר מובן שמדובר בחבורות, הומומורפיזם מ ל.

כלומר, פונקציה ש"משמרת" את המבנה של החבורות בתחום ובטווח היא הומומורפיזם. הטענות הבאות יראו לנו שהומומורפיזמים של חבורות, אכן שומרים על המבנה ומגלים לנו דברים חשובים על הקשר בין שתי החבורות.

דוגמאות[עריכה]

תכונות בסיסיות[עריכה]

טענה: הומומורפיזם מעבר איבר נייטרלי לאיבר נייטרלי

תהיינה חבורות ו הומומורפיזם. אזי,


הוכחה:


מש"ל.PNG


טענה: הומומורפיזם מעביר הפכי להפכי

תהיינה ו הומומורפיזם. אזי,


הוכחה:


מש"ל.PNG


טענה: הרכבה של הומומורפיזמים

בהינתן החבורות וההומומורפיזמים ו . הפונקציה

היא הומומורפיזם.


הוכחה: יהיו אזי מתקיים:


הסבר מעברים:
(1) הגדרה של הרכבת פונקציות
(2) הומומורפיזם
(3) הומומורפיזם
(4) הגדרה של הרכבת פונקציות


מש"ל.PNG

התמונה והגרעין של הומומורפיזם[עריכה]

הגדרות[עריכה]

הגדרה: התמונה של הומומורפיזם

בהינתן הומומורפיזם , כאשר חבורות. אזי נסמן:

קבוצה זו תיקרא התמונה של .


הגדרה: גרעין של הומומורפיזם

בהינתן הומומורפיזם , כאשר חבורות. אזי נסמן:

קבוצה זו תיקרא הגרעין של .

וביתר כלליות, נוכל להגדיר:

הגדרה: התמונה המצומצמת של הומומורפיזם

בהינתן הומומורפיזם , כאשר חבורות. תהי , אזי נסמן:

קבוצה זו תיקרא התמונה של מצומצמת ל ולפעמים תסומן גם כ.

טענות בסיסיות[עריכה]

הלמה הבאה קלה להוכחה ומושארת כתרגיל לקורא:



למה "הגרעין והתמונה הם חבורות חלקיות"

בהינתן הומומורפיזם , כאשר חבורות. אזי מתקיים


טענה: ח"ח נשמרות ע"י הומומורפיזמים

בהינתן הומומורפיזם , כאשר חבורות. תהי , אזי .


טענה: קומוטטיביות של ח"ח נשמרות ע"י הומו'

בהינתן הומומורפיזם , כאשר חבורות. אם ח"ח קומוטטיבית, אזי גם קומוטטיבית.

מורפיזמים[עריכה]

הגדרה: סוגים של הומומורפיזמים

בהינתן הומומורפיזם , כאשר חבורות. אזי:

  1. יקרא מונומורפיזם (או בעברית: שיכון) אםם חח"ע.
  2. יקרא אפימורפיזם אםם על.
  3. יקרא איזומורפיזם אםם חח"ע ועל.
    1. אם איזומורפיזם ומתקיים אז נאמר ש הוא אוטומורפיזם.

הטענות הבאות יחסית קלות ומושארות לקורא כתרגיל:

טענה: אפיון סוג המורפיזם בעזרת הגרעין והתמונה

בהינתן הומומורפיזם , כאשר חבורות. אזי מתקיים:

  1. אפימורפיזם אםם
  2. מונומורפיזם אםם

שיכונים ותמונות הומומורפיות[עריכה]

הגדרה: שיכון

בהינתן חבורות נאמר ש ניתנת לשיכון ב אםם קיים מונומורפיזם .

דוגמאות[עריכה]

הגדרה: תמונה הומומורפית

בהינתן חבורות נאמר ש תמונה הומומורפית של אםם קיים אפימורפיזם .

דוגמאות[עריכה]

חבורות איזומורפיות[עריכה]

בסעיף זה נדון במשמעות של שתי חבורות שמבחינת המבנה שלהן, הן בדיוק אותה החבורה. מה זה אומר? שההבדל היחיד בין שתי החבורות האלו הוא השמות של האיברים והסימון של הפעולה הביניארית. חבורות "זהות" שכאלה יקראו איזומורפיות, מלשון איזו = שווה, מורפיות=צורה, מיוונית.

הגדרה[עריכה]

הגדרה: חבורות איזומורפיות

החבורות יקראו איזומורפיות אםם קיים הומומורפיזם שהוא חח"ע ועל (כלומר, הוא איזומורפיזם).

במקרה זה נסמן (או, אם ברצוננו להדגיש את הפעולה הבינארית, נסמן .)

דוגמאות[עריכה]

טענות בסיסיות[עריכה]

טענה: יחס האיזומורפיזם הוא יחס שקילות

היחס הוא יחס שקילות.


הוכחה: תהיינה חבורות כלשהן.

  • רפלקסיביות: צ"ל שמתקיים . נבחר המוגדר ע"י
הוא איזומורפיזם.
  • סימטריות: נתון , צ"ל שמתקיים .
נתון כי לכן קיים איזומורפיזם. כיוון ש חח"ע ועל, קיים גם הוא חח"ע ועל, לכן, מספיק להוכיח כי הוא הומומורפיזם.
יהיו . אזי, קיימים כך שמתקיים: וגם . מכאן:
אבל
כלומר, איזומורפיזם ולכן .
  • טרנזיטיביות: נתון ו, צ"ל שמתקיים .
לכן, קיים איזו'
לכן, קיים איזו'
ידוע לנו ש חח"ע ועל, ועפ"י הטענה שהוכחנו בתחילת הפרק, הפונקציה היא הרכבה של הומומורפיזמים, ולכן הומומורפיזם. מכאן, היא איזומורפיזם, ומכאן .


מש"ל.PNG

הלמה הבאה פשוטה להוכחה ומושארת לקורא כתרגיל:



למה

בהינתן חבורות . אזי ניתנת לשיכון ב אםם קיימת כך שמתקיים .


הטענה הבאה מפתיעה מעט ויש לה חשיבות רבה:


משפט: כל חבורה ציקלית מסדר אינסופי איזומורפית לשלמים

תהי חבורה ציקלית מסדר אינסופי. אזי מתקיים .


הוכחה: מספיק לבנות מפורשות איזומורפיזם . יהי כך ש (נתון כי היא חבורה ציקלית מסדר אינסופי). ונגדיר:

נשים לב ש על בגלל ש היא חבורה ציקלית והיא חח"ע לפי טענות שהוכחנו בפרק חבורות חלקיות. לכן מספיק להוכיח ש היא הומומורפיזם:

(המעברים מסתמכים על טענות מהפרק על חבורות חלקיות)


מש"ל.PNG

באופן דומה יוכל הקורא להוכיח את המשפט הבא:


משפט: כל חבורה ציקלית מסדר n איזומורפית לשלמים מודולו n

תהי חבורה ציקלית כך ש. אזי, מתקיים


אנחנו ניתן הוכחה פורמלית מלאה לשני המשפטים לעיל יחדיו בפרק על משפטי האיזומורפיזם.

חבורת האנדומורפיזמים[עריכה]

ראינו בסעיפים הקודמים כי הרכבה של הומומורפיזמים היא הומומורפיזם. לכן, קבוצת כל ההומומורפיזמים של חבורה כלשהי לעצמה, סגורה כלפי פעולת ההרכבה של פונקציות, אך האם היא חבורה? נתחיל במספר הגדרות.

הגדרות[עריכה]

הגדרה: אנדומורפיזם

בהינתן חבורה. הומומורפיזם יקרא אנדומורפיזם.

(כלומר, אנדומורפיזם הוא הומומורפיזם מחבורה לעצמה.)


הגדרה: קבוצת האנדומורפיזמים

קבוצת כל האנדומורפיזמים של החבורה תסומן כ:

טענות בסיסיות[עריכה]

טענה: חבורת האנדומורפיזמים

בהינתן חבורה. היא חבורה כאשר,

הלמות הבאות הן פשוטות ומושארות לקורא כתרגיל:



למה

בהינתן חבורה כך ש , החבורה היא לא חבורה אבאלית.




למה

בהינתן חבורה כך ש . אזי מתקיים


חבורת האוטומורפיזמים[עריכה]

כעת נדבר על הח"ח החשובה ביותר של חבורת האנדומורפיזמים, חבורת האוטומורפיזמים.


הגדרה: קבוצת האוטומורפיזמים

בהינתן חבורה , קבוצת כל האוטומורפיזמים שלה תסומן ע"י או, בקיצור, .

טענות בסיסיות[עריכה]

כתרגיל, יוכיח הקורא את הטענה הבאה:

טענה: חבורת האוטומורפיזמים היא ח"ח של חבורת האנדומורפיזמים

בהינתן מתקיים

משפט קיילי[עריכה]

משפט קיילי חושף בפנינו קשר בסיסי בין חבורה לחבורת הסימטריה שלה.



משפט: משפט קיילי

החבורה איזומורפית לתת-חבורה של .

כלומר, ניתנת לשיכון ב.


הוכחה: מספיק למצוא מונומורפיזם והטענה תוכח.

בהינתן נגדיר ע"י: . ברור כי אכן היא חח"ע ועל (הקורא יכול לנסות להוכיח זאת בעצמו).

כעת, נגדיר ע"י . נראה כי היא הומומורפיזם.

נשים לב לעובדה הבאה, יהיו אזי מתקיים:


הסבר מעברים:
(1) הגדרה של הרכבת פונקציות
(2) הגדרה של
(3) הגדרה של
(4) אסוציאטיביות
(5) הגדרה של

מכאן ניתן להסיק: .

לכן, בהינתן ניתן להסיק כי:

מכאן ש הומומורפיזם.

כעת נוכיח כי היא פונקציה חח"ע. יהיו אזי מתקיים:

מכאן ש היא מונומורפיזם.


מש"ל.PNG


הפרק הקודם:
מחלקות (קוסטים)
הומומורפיזמים
תרגילים
הפרק הבא:
תת חבורות נורמאליות