עד כה עסקנו בחבורות בצורה סטאטית. כלומר, התעסקנו במבנה הכללי של חבורה ושל חבורות ספציפיות שבדקנו (ראה פרק חבורות חשובות). בפרק זה נתעסק בקשר בין חבורות שונות ובאיזשהו סוג של "דמיון" בין שתי חבורות, וזאת בעזרת פונקציות מחבורה אחת לאחרת.

כפי שהקורא כבר יכול לתאר לעצמו, לא מספיק שהפונקציות הללו יהיו סתם פונקציות מקבוצה אחת לאחרת ששניהן במקרה גם חבורות, אלא שאותה פונקציה תצטרך גם "לשמר" באיזשהו מובן את המבנה של החבורות בתחום ובטווח.

הגדרת ההומומורפיזם של חבורות

נתחיל את הפרק בהגדרה של הומומורפיזמים.

הגדרה: הומומורפיזם

תהיינה $\ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})$ אזי, פונקציה $\ f:X\rightarrow Y$ המקיימת:

\ \forall a,b\in X\quad f(a\cdot b)=f(a)+f(b)

תיקרא הומומורפיזם של חבורות מ $\ X$ ל $\ Y$ או בקיצור,כאשר מובן שמדובר בחבורות, הומומורפיזם מ $\ X$ ל $\ Y$ .

כלומר, פונקציה ש"משמרת" את המבנה של החבורות בתחום ובטווח היא הומומורפיזם. הטענות הבאות יראו לנו שהומומורפיזמים של חבורות, אכן שומרים על המבנה ומגלים לנו דברים חשובים על הקשר בין שתי החבורות.

דוגמאות

תכונות בסיסיות

טענה: הומומורפיזם מעבר איבר נייטרלי לאיבר נייטרלי

תהיינה $\ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})$ חבורות ו $\ f:X\rightarrow Y$ הומומורפיזם. אזי,

\ f(1_{X})=0_{Y}

הוכחה:

\ \forall x\in X\quad f(x)=f(1_{X}x)=f(1_{X})+f(x)\Rightarrow f(1_{X})=0_{Y}

טענה: הומומורפיזם מעביר הפכי להפכי

תהיינה $\ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})$ ו $\ f:X\rightarrow Y$ הומומורפיזם. אזי,

\ \forall x\in X\quad f(x^{-1})=-f(x)

הוכחה:

\ \forall x\in X\quad 0_{Y}=f(1_{X})=f(x\cdot x^{-1})=f(x)+f(x^{-1})\Rightarrow f(x^{-1})=-f(x)

טענה: הרכבה של הומומורפיזמים

בהינתן החבורות $\ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})\quad (Z,\heartsuit ,e_{Z})$ וההומומורפיזמים $\ f:X\rightarrow Y$ ו $\ g:Y\rightarrow Z$ . הפונקציה

\ g\circ f(x)=g(f(x))

היא הומומורפיזם.

הוכחה: יהיו $\ a,b\in X$ אזי מתקיים:

\ (g\circ f)(ab)=^{(1)}g(f(ab))=^{(2)}g(f(a)+f(b))=^{(3)}g(f(a))\heartsuit g(f(b))=^{(4)}(g\circ f)(a)\heartsuit (g\circ f)(b)

הסבר מעברים:
(1) הגדרה של הרכבת פונקציות
(2) $\ f$ הומומורפיזם
(3) $\ g$ הומומורפיזם
(4) הגדרה של הרכבת פונקציות

התמונה והגרעין של הומומורפיזם

הגדרות

הגדרה: התמונה של הומומורפיזם

בהינתן הומומורפיזם $\ f:X\rightarrow Y$ , כאשר $\ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})$ חבורות. אזי נסמן:

\ {\text{Im}}(f)=\{f(x)|x\in X\}

קבוצה זו תיקרא התמונה של $\ f$ .

הגדרה: גרעין של הומומורפיזם

בהינתן הומומורפיזם $\ f:X\rightarrow Y$ , כאשר $\ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})$ חבורות. אזי נסמן:

\ {\text{ker}}(f)=\{x\in X|f(x)=0_{Y}\}

קבוצה זו תיקרא הגרעין של $\ f$ .

וביתר כלליות, נוכל להגדיר:

הגדרה: התמונה המצומצמת של הומומורפיזם

בהינתן הומומורפיזם $\ f:X\rightarrow Y$ , כאשר $\ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})$ חבורות. תהי $\ D\subseteq X$ , אזי נסמן:

\ f(D)=\{f(d)|d\in D\}

קבוצה זו תיקרא התמונה של $\ f$ מצומצמת ל $\ D$ ולפעמים תסומן גם כ $\ {\text{Im}}(f|_{D})$ .

טענות בסיסיות

הלמה הבאה קלה להוכחה ומושארת כתרגיל לקורא:

למה "הגרעין והתמונה הם חבורות חלקיות"

בהינתן הומומורפיזם $\ f:X\rightarrow Y$ , כאשר $\ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})$ חבורות. אזי מתקיים

\ {\text{Im}}(f)\leq Y\quad \quad {\text{ker}}(f)\leq X

טענה: ח"ח נשמרות ע"י הומומורפיזמים

בהינתן הומומורפיזם $\ f:X\rightarrow Y$ , כאשר $\ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})$ חבורות. תהי $\ D\leq X$ , אזי $\ f(D)\leq Y$ .

טענה: קומוטטיביות של ח"ח נשמרות ע"י הומו'

בהינתן הומומורפיזם $\ f:X\rightarrow Y$ , כאשר $\ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})$ חבורות. אם $\ D\leq X$ ח"ח קומוטטיבית, אזי גם $\ f(D)\leq Y$ קומוטטיבית.

מורפיזמים

הגדרה: סוגים של הומומורפיזמים

בהינתן הומומורפיזם $\ f:X\rightarrow Y$ , כאשר $\ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})$ חבורות. אזי:

$\ f$ יקרא מונומורפיזם (או בעברית: שיכון) אםם $\ f$ חח"ע.
$\ f$ יקרא אפימורפיזם אםם $\ f$ על.
$\ f$ $\ f$ יקרא איזומורפיזם אםם $\ f$ $\ f$ חח"ע ועל.
1. אם $\ f$ איזומורפיזם ומתקיים $\ X=Y$ אז נאמר ש $\ f$ הוא אוטומורפיזם.

הטענות הבאות יחסית קלות ומושארות לקורא כתרגיל:

טענה: אפיון סוג המורפיזם בעזרת הגרעין והתמונה

בהינתן הומומורפיזם $\ f:X\rightarrow Y$ , כאשר $\ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})$ חבורות. אזי מתקיים:

$\ f$ אפימורפיזם אםם $\ {\text{Im}}(f)=Y$
$\ f$ מונומורפיזם אםם $\ {\text{ker}}(f)=\{1_{X}\}$

שיכונים ותמונות הומומורפיות

הגדרה: שיכון

בהינתן חבורות $\ X,Y$ נאמר ש $\ X$ ניתנת לשיכון ב $\ Y$ אםם קיים מונומורפיזם $\ \tau :X\rightarrow Y$ .

דוגמאות

הגדרה: תמונה הומומורפית

בהינתן חבורות $\ X,Y$ נאמר ש $\ Y$ תמונה הומומורפית של $\ X$ אםם קיים אפימורפיזם $\ \tau :X\rightarrow Y$ .

דוגמאות

חבורות איזומורפיות

בסעיף זה נדון במשמעות של שתי חבורות שמבחינת המבנה שלהן, הן בדיוק אותה החבורה. מה זה אומר? שההבדל היחיד בין שתי החבורות האלו הוא השמות של האיברים והסימון של הפעולה הביניארית. חבורות "זהות" שכאלה יקראו איזומורפיות, מלשון איזו = שווה, מורפיות=צורה, מיוונית.

הגדרה

הגדרה: חבורות איזומורפיות

החבורות $\ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})$ יקראו איזומורפיות אםם קיים הומומורפיזם $\ f:X\rightarrow Y$ שהוא חח"ע ועל (כלומר, $\ f$ הוא איזומורפיזם).

במקרה זה נסמן $\ X\cong Y$ (או, אם ברצוננו להדגיש את הפעולה הבינארית, נסמן $\ (X,\cdot )\cong (Y,+)$ .)

דוגמאות

טענות בסיסיות

טענה: יחס האיזומורפיזם הוא יחס שקילות

היחס $\ \cong$ הוא יחס שקילות.

הוכחה: תהיינה $\ (X,\cdot ,1_{X}),\quad (Y,+,0_{Y})\quad (Z,\heartsuit ,e_{Z})$ חבורות כלשהן.

רפלקסיביות: צ"ל שמתקיים $\ X\cong X$ . נבחר $\ \phi :X\rightarrow X$ המוגדר ע"י

\ \forall t\in X\quad \phi (t)=t

\ \phi

הוא איזומורפיזם.

סימטריות: נתון $\ X\cong Y$ , צ"ל שמתקיים $\ Y\cong X$ .

נתון כי

\ X\cong Y

לכן קיים

\ \phi :X\rightarrow Y

איזומורפיזם. כיוון ש

\ \phi

חח"ע ועל, קיים

\ \phi ^{-1}:Y\rightarrow X

גם הוא חח"ע ועל, לכן, מספיק להוכיח כי

\ \phi ^{-1}

הוא הומומורפיזם.

יהיו

\ a,b\in Y

. אזי, קיימים

\ a',b'\in X

כך שמתקיים:

\ f(a')=a

וגם

\ f(b')=b

. מכאן:

\ a'b'=\phi ^{-1}(a)\phi ^{-1}(b)

אבל

\ \phi (a'b')=\phi (a')+\phi (b')=a+b

\ \Updownarrow

\ a'b'=\phi ^{-1}(a+b)

\ \Downarrow

\ \phi ^{-1}(a+b)=\phi ^{-1}(a)\phi ^{-1}(b)

כלומר,

\ \phi ^{-1}

איזומורפיזם ולכן

\ Y\cong X

.

טרנזיטיביות: נתון $\ X\cong Y$ ו $\ Y\cong Z$ , צ"ל שמתקיים $\ X\cong Z$ .

\ X\cong Y

לכן, קיים איזו'

\ \phi :X\rightarrow Y

\ Y\cong Z

לכן, קיים איזו'

\ \tau :Y\rightarrow Z

ידוע לנו ש

\ \tau \circ \phi

חח"ע ועל, ועפ"י הטענה שהוכחנו בתחילת הפרק, הפונקציה

\ \tau \circ \phi

היא הרכבה של הומומורפיזמים, ולכן הומומורפיזם. מכאן,

\ \tau \circ \phi

היא איזומורפיזם, ומכאן

\ X\cong Z

.

הלמה הבאה פשוטה להוכחה ומושארת לקורא כתרגיל:

למה

בהינתן חבורות $X,Y$ . אזי $\ X$ ניתנת לשיכון ב $\ Y$ אםם קיימת $\ D\leq Y$ כך שמתקיים $\ D\cong X$ .

הטענה הבאה מפתיעה מעט ויש לה חשיבות רבה:

משפט: כל חבורה ציקלית מסדר אינסופי איזומורפית לשלמים

תהי $\ (X,\cdot ,1_{X})$ חבורה ציקלית מסדר אינסופי. אזי מתקיים $\ (X,\cdot ,1_{X})\cong (\mathbb {Z} ,+,0)$ .

הוכחה: מספיק לבנות מפורשות איזומורפיזם $\ f:\mathbb {Z} \rightarrow X$ . יהי $\ a\in X$ כך ש $\ X=<\!\!a\!\!>$ (נתון כי $\ X$ היא חבורה ציקלית מסדר אינסופי). ונגדיר:

\ f(n)=a^{n}

נשים לב ש $\ f$ על בגלל ש $\ X$ היא חבורה ציקלית והיא חח"ע לפי טענות שהוכחנו בפרק חבורות חלקיות. לכן מספיק להוכיח ש $\ f$ היא הומומורפיזם:

\ \forall n,m\in \mathbb {Z} \quad f(n+m)=a^{n+m}=a^{n}a^{m}=f(n)f(m)

(המעברים מסתמכים על טענות מהפרק על חבורות חלקיות)

באופן דומה יוכל הקורא להוכיח את המשפט הבא:

משפט: כל חבורה ציקלית מסדר n איזומורפית לשלמים מודולו n

תהי $\ (X,\cdot ,1_{X})$ חבורה ציקלית כך ש $\ o(X)=n$ . אזי, מתקיים $\ (X,\cdot ,1_{X})\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{\!\!\!\!\mod n},0)$

אנחנו ניתן הוכחה פורמלית מלאה לשני המשפטים לעיל יחדיו בפרק על משפטי האיזומורפיזם.

חבורת האנדומורפיזמים

ראינו בסעיפים הקודמים כי הרכבה של הומומורפיזמים היא הומומורפיזם. לכן, קבוצת כל ההומומורפיזמים של חבורה כלשהי $\ X$ לעצמה, סגורה כלפי פעולת ההרכבה של פונקציות, אך האם היא חבורה? נתחיל במספר הגדרות.

הגדרות

הגדרה: אנדומורפיזם

בהינתן $\ (X,\cdot ,1_{X})$ חבורה. הומומורפיזם $\ f:X\rightarrow X$ יקרא אנדומורפיזם.

(כלומר, אנדומורפיזם הוא הומומורפיזם מחבורה לעצמה.)

הגדרה: קבוצת האנדומורפיזמים

קבוצת כל האנדומורפיזמים של החבורה $\ (X,\cdot ,1_{X})$ תסומן כ: $\ {\text{END}}(X)$

טענות בסיסיות

טענה: חבורת האנדומורפיזמים

בהינתן $\ (X,\cdot ,1_{X})$ חבורה. $\ ({\text{END}}(X),\circ ,{\text{ID}})$ היא חבורה כאשר,

\ \forall x\in X\quad {\text{ID}}(x)=x

הלמות הבאות הן פשוטות ומושארות לקורא כתרגיל:

למה

בהינתן $\ (X,\cdot ,1_{X})$ חבורה כך ש $\ o(X)>2$ , החבורה $\ {\text{END}}(X)$ היא לא חבורה אבאלית.

למה

בהינתן $\ (X,\cdot ,1_{X})$ חבורה כך ש $\ o(X)>2$ . אזי מתקיים $\ X\not \cong {\text{END}}(X)$

חבורת האוטומורפיזמים

כעת נדבר על הח"ח החשובה ביותר של חבורת האנדומורפיזמים, חבורת האוטומורפיזמים.

הגדרה: קבוצת האוטומורפיזמים

בהינתן חבורה $\ (X,\cdot ,1_{X})$ , קבוצת כל האוטומורפיזמים שלה תסומן ע"י $\ {\text{AUTO}}(X)$ או, בקיצור, $\ {\text{A}}(X)$ .

טענות בסיסיות

כתרגיל, יוכיח הקורא את הטענה הבאה:

טענה: חבורת האוטומורפיזמים היא ח"ח של חבורת האנדומורפיזמים

בהינתן $\ (X,\cdot ,1_{X})$ מתקיים $\ {\text{A}}(X)\leq {\text{END}}(X)$

משפט קיילי

משפט קיילי חושף בפנינו קשר בסיסי בין חבורה לחבורת הסימטריה שלה.

משפט: משפט קיילי

החבורה $\ (X,\cdot ,1_{X})$ איזומורפית לתת-חבורה של $\ {\text{Sym}}(X)$ .

כלומר, $\ X$ ניתנת לשיכון ב $\ {\text{Sym}}(X)$ .

הוכחה: מספיק למצוא מונומורפיזם $\ \tau :X\rightarrow {\text{Sym}}(X)$ והטענה תוכח.

בהינתן $\ a\in X$ נגדיר $\ \phi _{a}:X\rightarrow X$ ע"י: $\ \phi _{a}(t)=at$ . ברור כי אכן $\ \phi _{a}$ היא חח"ע ועל (הקורא יכול לנסות להוכיח זאת בעצמו).

כעת, נגדיר $\ \tau :X\rightarrow {\text{Sym}}(X)$ ע"י $\ \tau (a)=\phi _{a}$ . נראה כי $\ \tau$ היא הומומורפיזם.

נשים לב לעובדה הבאה, יהיו $\ a,b\in X$ אזי מתקיים:

\ (\phi _{a}\circ \phi _{b})(t)=^{(1)}\phi _{a}(\phi _{b}(t))=^{(2)}\phi _{a}(bt)=^{(3)}a(bt)=^{(4)}(ab)t=^{(5)}\phi _{ab}(t)

הסבר מעברים:
(1) הגדרה של הרכבת פונקציות
(2) הגדרה של $\ \phi _{a}$
(3) הגדרה של $\ \phi _{b}$
(4) אסוציאטיביות
(5) הגדרה של $\ \phi _{ab}$

מכאן ניתן להסיק: $\ (\phi _{a}\circ \phi _{b})=\phi _{ab}$ .