מבנים אלגבריים/חבורות/פעולה של חבורה על קבוצה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הגדרה[עריכה]

הגדרה: פעולת חבורה

תהא קבוצה כלשהי ו חבורה, פעולה של G על X היא פונקציה

המקיימת:

  • אסוציאטיביות:

  • ניטרליות של איבר היחידה:

הערה: כאשר ברור מהי הפעולה המדוברת, לעיתים מסמנים .

דוגמאות[עריכה]

מסלולים ומייצבים[עריכה]

הגדרה: מסלול

בהינתן איבר המסלול של x תחת הפעולה של G על X הוא הקבוצה:

כלומר, המסלול של x הוא קבוצת האיברים בX שניתן להגיע אליהם מx באמצעות הפעלת איברים מG.


הגדרה: מיצב

בהינתן איבר המיצב של x תחת הפעולה של G על X הוא הקבוצה:

כלומר, המיצב של איבר x הוא כל האיברים בg שהפעלתם עליו לא משנה אותו.



למה "המיצב הוא ח"ח"

לכל מתקיים




למה "המסלולים יוצרים מחלקות שקילות"

לכל מתקיים

  • או .


טענה: גודל המסלול

בהינתן G חבורה סופית. לכל מתקיים

סוגי פעולות[עריכה]

הגדרה: פעולה טרנזיטיבית

אם X קבוצה לא ריקה, פעולה של G על X תיקרא טרנזיטיבית אםם

כלומר, פעולה היא טרנזיטיבית אם מכל איבר של X ניתן להגיע לכל איבר אחר.

הלמה של ברנסייד[עריכה]

נתחיל בהגדרה:

הגדרה: פיקס

בהינתן איבר הפיקס של g תחת הפעולה של G על X הוא הקבוצה:

כלומר, הפיקס של g הוא כל האיברים בX שg משאיר במקום.



משפט: הלמה של ברנסייד

תהא G חבורה סופית. נסמן בN את מספר המסלולים השונים בX, אזי מתקיים


הפרק הקודם:
חבורות פתירות
פעולה של חבורה על קבוצה הפרק הבא:
משפטי סילו