מבנים אלגבריים/חבורות/תת-חבורות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

לאחר שדנו בתכונות הבסיסיות של חבורות וראינו מספר דוגמאות לחבורות, הגיע הזמן שנדבר על מה קורה כשיש חבורה "בתוך" חבורה. כלומר, בהינתן חבורה עם פעולה בינארית ובהינתן נרצה לשאול, האם גם היא חבורה עם הפעולה הבינארית של ? בפרק זה נדון בתנאים שמבטיחים שאכן תהיה חבורה ובתכונות של חבורות כאלה, שבאופן טבעי נקראות תת-חבורות.

הגדרה ודוגמאות[עריכה]

הגדרה: תת-חבורה

בהינתן חבורה , תת הקבוצה תיקרא תת-חבורה או חבורה חלקית של אםם הקבוצה יחד עם הפעולה היא חבורה.

בד"כ מסמנים ש ח"ח של ע"י

ההגדרה הזו היא אמנם ההגדרה הפורמלית של תת חבורה, אבל לא רצוי להשתמש בה כדי להוכיח שתת-קבוצה היא גם תת-חבורה, שכן, זה ידרוש מאיתנו לבדוק שכל האקסיומות של חבורה מתקיימות עבור . הטענה הבאה תראה לנו שנחוצה לנו הרבה פחות עבודה.


טענה:

תהי חבורה ותהי . תת-קבוצה זו היא תת-חבורה אםם מתקיים:

הוכחה: טריבאלי ומושאר לקורא כתרגיל.

תהי נניח שמתקיימים 1 ו2 ונוכיח שכל האקסיומות של חבורה מתקיימות.
סגירות: נובע אוטומאטית מ1.
אסוציאטיביות: נובעת מ.
קיום איבר נייטרלי: יהי אזי לפי 2, מתקיים . ולכן לפי 1 מתקיים .
קיום איבר נגדי:נובע ישירות מ2.

מש"ל.PNG

הטענה הבאה היא פשוט ונשאירה לקורא כתרגיל:

טענה:

תהי חבורה אבאלית, אזי כל תת-חבורה שלה היא חבורה אבאלית.

הטענה הבאה תראה לנו שעוד פחות עבודה נחוצה לנו כדי להוכיח שתת-קבוצה היא תת-חבורה:

טענה:

תהי חבורה ותהי . תת-קבוצה זו היא תת-חבורה אםם מתקיים

הוכחה: () טריבאלי ונובע ישירות מהטענה הקודמת

()יהי אזי לפי התנאי מתקיים

מכאן, שוב לפי התנאי נקבל:

ולכן מתקיים , שוב לפי התנאי, מתקיים אם אזי לפי מה שהוכחנו מתקיים

פירוט המעברים מושאר לקורא כתרגיל. ולפי הטענה הראשונה, סיימנו.


מש"ל.PNG

דוגמאות[עריכה]

קבוצות יוצרות ותת-חבורות ציקליות[עריכה]

חבורה חלקית ציקלית[עריכה]

בסעיף זה נשים לב לתת-חבורות מאוד מיוחדות שמשחקות תפקיד חשוב בחקר של המבנה של החבורה. תהי חבורה. ויהי איבר כלשהו בחבורה נסתכל על הקבוצה:

קבוצה זו מוגדרת היטב לפי ההגדרה בפרק הקודם. קל לראות שקבוצה זו היא תת חבורה של (הקורא יכול להוכיח את זה כתרגיל). תת חבורה זו נקראת תת-חבורה ציקלית של הנוצרת ע"י או בקיצור תת-חבורה ציקלית הנוצרת ע"י .


הגדרה:

חבורה תיקרא חבורה ציקלית אםם קיים כך ש .

דוגמאות[עריכה]

  1. נסתכל על עם פעולת החיבור וניקח את האיבר 1, אזי קל לראות שמתקיים .לכן החבורה היא חבורה ציקלית.

קבוצה יוצרת[עריכה]

תהי (לאו דווקא תת-חבורה) נשאל, מהי התת החבורה הקטנה ביותר המכילה את ? כדי לענות על שאלה זו ביעילות נרשום ראשית מספר הגדרות:


טענה:

יהיו כך ש , אזי מתקיים .


הוכחה: נוכיח זאת באינדוקציה על .

בסיס האינדוקציה: אם , אז ברור שהטענה מתקיימת.

אם , אזי בעצם, צריך להוכיח שמתקיים . יהי . אזי מתקיים:

צעד האינדוקציה: נניח שהטענה נכונה עבור , נרצה להוכיח את נכונות הטענה עבור . לפי בסיס האינדוקציה מתקיים ולפי הנחת האינדוקציה מתקיים , לכן, מטרינזטיביות יחס ההכלה נקבל שמתקיים .

לכן, מנכונות עיקרון האינדוקציה הבסיס והצעד, הטענה הוכחה.

מש"ל.PNG


הגדרה: החבורה החלקית הנוצרת ע"י תת-קבוצה

בהינתן , הקבוצה הנוצרת ע"י היא

כאשר מוגדרות כלעיל.


טענה:

הקבוצה היא תת-חבורה של .

הוכחה: מספיק להראות שהקבוצה סגורה תחת כפל ומכילה את ההפכי של כל איבר בה.

סגירות: יהיו לכן, קיימים כך ש ולכן, לפי הלמה שהוכחנו מקודם, נקבל: ולכן: לפי ההגדרה של . ומכאן נקבל .

קיום של הפכי: יהי מכאן קיים כך ש ולכן מתקיים ומכאן .

ולכן היא חבורה חלקית של G.


מש"ל.PNG

כמו במקרה של חבורה ציקלית גם כאן נגדיר:

הגדרה: חבורה הנוצרת מקבוצה

בהינתן חבורה אם קיימת תת-קבוצה כך ש , אזי נאמר ש נוצרת ע"י או ש היא קבוצה יוצרת של .



משפט:

התת-חבורה היא החבורה החלקית הקטנה ביותר של אשר מכילה את .


הוכחה: תהי ח"ח כך ש. צריך להוכיח שמתקיים .

מספיק להוכיח שלכל מתקיים . נוכיח זאת באינדוקציה על .

בסיס האינדוקציה: עבור מתקיים לפי ההגדרה של .

צעד האינדוקציה: יהי כך שהטענה נכונה עבור נוכיח את נכונות הטענה עבור . כלומר, לפי הנחת האינדוקציה מתקיים אבל חבורה חלקית ולכן סגורה לכפל של החבורה, ומכאן לפי התכונות של סדרת הקבוצות .

לכן, לפי נכונות עיקרון אינדוקציה, הבסיס והצעד, הטענה הוכחה לכל , ומכאן המשפט.


מש"ל.PNG

דוגמאות[עריכה]

סדר של חבורה וסדר של איבר בחבורה[עריכה]

בסעיף ה נשים דגש מיוחד על חבורות סופיות, אלו הן חבורות שמספר האיברים שלהן הוא סופי.


הגדרה: סדר של חבורה

בהינתן חבורה סופית , הסדר של הוא מספר האיברים של החבורה, והוא מסומן ב או ב .

דוגמאות[עריכה]

הגדרה: סדר של איבר בחבורה

בהינתן הסדר של הוא המספר הקטן ביותר כך שמתקיים

הסדר של איבר יסומן ב, אם לא קיים שכזה נאמר שהסדר של הוא אינסופי.


טענה:

אם עבור מתקיים אינסופי אזי מתקיים:


הוכחה: יהיו כלשהם. מתקיים

אבל נתון כי אינסופי ולכן זה ייתכן אםם מתקיים .


מש"ל.PNG

כעת נוכיח משפט מעניין הנוגע לחבורות ציקליות ולסדר של איבר:


משפט: המבנה של תת-חבורה ציקלית

אם מתקיים אזי מתקיים


הוכחה: מספיק להוכיח . יהי כאשר . אם , אז סיימנו.

אחרת, נחלק את ב עם שארית. ומכאן נקבל שקיימים כך שמתקיים כאשר וגם . מכאן:

ומכאן הטענה.


הסבר מעברים:
(1)
(2) טענה 8 בפרק הקודם
(3) טענה 10 בפרק הקודם
(4) תכונות של הסדר של איבר
(5) תכונות של איבר נייטרלי
(6) תכונות של איבר נייטרלי


מש"ל.PNG

טענות אלו נובעת בנקל מהמשפט לעיל:


טענה:

לכל מתקיים , בהנחה ששניהם סופיים. בנוסף מתקיים, סופי אםם היא קבוצה סופית.


הוכחה: נוכיח את החלק האחרון של משפט זה.

נניח ש סופי, מכאן, לפי המשפט הקודם, סיימנו.

נניח ש היא קבוצה סופית. כעת, נניח בשלילה כי הוא אינסופי, לפי הטענה הראשונה בתת-סעיף זה נקבל כי יש התאמה חח"ע ועל בין לבין , הנתונה על ידי לכל , בסתירה לכך שהקבוצה היא קבוצה סופית.


מש"ל.PNG


טענה:

אם החבורה היא חבורה סופית, אז לכל מתקיים סופי.


הפרק הקודם:
חבורות חשובות
תת-חבורות הפרק הבא:
מחלקות (קוסטים)