מבנים אלגבריים/שדות

הגדרה

שדה $\mathbb {F}$ הוא מבנה אלגברי בעל שתי פעולות בינאריות – חיבור ($+$) וכפל ($\,\cdot \,$), המקיים את התכונות הבאות:

א1. סגירות החיבור: אם $a,\!b\in \mathbb {F}$ אז $a+b\in \mathbb {F}$.

א2. קיבוציות החיבור: לכל $a,\!b,\!c\in \mathbb {F}$ מתקיים $(a+b)+c=a+(b+c)$.

א3. חילופיות החיבור: לכל $a,\!b\in \mathbb {F}$ מתקיים $a+b=b+a$.

א4. קיום אדיש לחיבור: קיים אבר $0\in \mathbb {F}$ עבורו $a+0=a$ לכל $a\in \mathbb {F}$.

א5. קיום נגדי: לכל $a\in \mathbb {F}$ קיים אבר $b\in \mathbb {F}$ עבורו $a+b=0$. מסמנים $b=-a$.

ב1. סגירות הכפל: לכל $a,\!b\in \mathbb {F}$ מתקיים $a\cdot b\in \mathbb {F}$.

ב2. קיבוציות הכפל: לכל $a,\!b\in \mathbb {F}$ מתקיים $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

ב3. חילופיות הכפל: לכל $a,\!b\in \mathbb {F}$ מתקיים $a\cdot b=b\cdot a$.

ב4. קיום אדיש לכפל: קיים אבר $1\in \mathbb {F}$ עבורו $a\cdot 1=x$ לכל $a\in \mathbb {F}$.

ב5. קיום הופכי: לכל $0\neq a\in \mathbb {F}$ קיים אבר $b\in \mathbb {F}$ עבורו $a\cdot b=1$. מסמנים $b=a^{-1}$.

ג1. פילוג: לכל $a,\!b,\!c\in \mathbb {F}$ מתקיים $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.