הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים רציפים/התפלגות נורמלית

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש


התפלגויות רציפות

  1. התפלגות יוניפורמית
  2. התפלגות אקספוננציאלית
  3. התפלגות נורמלית
נורמלי:
פונקצית התפלגות
Normal distribution cdf.png
פונקצית צפיפות
Normal distribution pdf.png
פרמטרים
תומך
פונקצית התפלגות
פונקצית צפיפות
תוחלת
חציון
שונות
פונקציה יוצרת מומנטים
פונקציה אופיינית


פעמון גאוס תקני

אינטואיטיבית, התפלגות נורמלית (התפלגות גאוסית) היא ההתפלגות של ממוצע של מ"מ אחרים תחת הנחות קלות למדי. היא אחת ההתפלגויות החשובות ביותר, ומופיעה רבות בטבע.


הגדרה: התפלגות נורמלית (התפלגות גאוסית)

נאמר כי מ"מ הוא בעל התפלגות נורמלית אם

כאשר ו- הם התוחלת וסטיית התקן (מושגים שנראה בהמשך) של .


נכתוב .

אם אז בעל התפלגות נורמלית תקנית (או גאוסית תקנית).

מתרשים הצפיפות בצד שמאל אפשר לראות שלצפיפות יש צורת פעמון. בהמשך הספר נראה כי הפרמטר הוא הערך שעבורו מקבל הפעמון את המקסימום, והפרמטר קובע את רוחב הפעמון.



פונקציית ההתפלגות המצטברת[עריכה]

פונקציית ההתפלגות המצטברת מוגדרת, כבשאר המ"מ הרציפים, לפי

ובמקרה זה,

למרבה הצער, אין לאינטגרל זה פתרון סגור. מה עושים, אם כן?

ראשית, נגדיר

כהתפלגות המצטברת של מ"מ נורמלי תקני . נראה כי בעזרת ערכי אפשר לחשב את ההתפלגות המצטברת של כל מ"מ גאוסי אחר.



משפט:

נניח מ"מ .

אז


הוכחה: לפי הגדרה, . נגדיר מ"מ חדש . נשים לב כי המ"מ מתפלג . נשים לב גם כי

הביטוי האחרון הנו בדיוק


מש"ל.PNG

מהמשפט הקודם נובע כי מספיק לדעת את ערכי עבור ערכי שונים. מסיבה זו אפשר למצוא טבלאות של ערכי פונקציה זו. למעשה, הטבלאות מכילות לרוב רק את ערכי עבור ערכי לא שליליים, וזאת משום שהפונקציה הנה סימטרית.



ראו גם[עריכה]

- התפלגות נורמלית -