הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים רציפים/התפלגות נורמלית

התפלגויות רציפות התפלגות יוניפורמית התפלגות אקספוננציאלית התפלגות נורמלית

נורמלי: $\ X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$

פונקצית התפלגות
פונקצית צפיפות
פרמטרים	$\ \mu ;\sigma ^{2}>0$
תומך	$\ x\in (-\infty ,+\infty )$
פונקצית התפלגות	$\ \int \limits _{-\infty }^{x}{1 \over {\sqrt {2\pi }}}e^{-{x^{2} \over 2}}$
פונקצית צפיפות	$\ {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
תוחלת	$\ \mu$
חציון	$\ \mu$
שונות	$\ \sigma ^{2}$
פונקציה יוצרת מומנטים	$\ \exp \left(\mu \,s+{\frac {\sigma ^{2}s^{2}}{2}}\right)$
פונקציה אופיינית	$\ \exp \left(\mu \,i\,s-{\frac {\sigma ^{2}s^{2}}{2}}\right)$

פעמון גאוס תקני

אינטואיטיבית, התפלגות נורמלית (התפלגות גאוסית) היא ההתפלגות של ממוצע של מ"מ אחרים תחת הנחות קלות למדי. היא אחת ההתפלגויות החשובות ביותר, ומופיעה רבות בטבע.

הגדרה: התפלגות נורמלית (התפלגות גאוסית) נאמר כי מ"מ $X$ הוא בעל התפלגות נורמלית אם $f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left({\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),$ כאשר $\mu$ ו-$\sigma$ הם התוחלת וסטיית התקן (מושגים שנראה בהמשך) של $X$. נכתוב $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$. אם $\ X\sim N(0,1)$ אז $X$ בעל התפלגות נורמלית תקנית (או גאוסית תקנית).

מתרשים הצפיפות בצד שמאל אפשר לראות שלצפיפות יש צורת פעמון. בהמשך הספר נראה כי הפרמטר $\mu$ הוא הערך שעבורו מקבל הפעמון את המקסימום, והפרמטר $\sigma ^{2}$ קובע את רוחב הפעמון.

תרגיל : נניח כי $X\sim N(0,\sigma ^{2})$. נגדיר מ"מ חדש $\ Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}$. בהמשך הקורס, וודא כי הנך מבין מדוע $\ Z\sim N(0,1)$.

פונקציית ההתפלגות המצטברת

פונקציית ההתפלגות המצטברת מוגדרת, כבשאר המ"מ הרציפים, לפי

$F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(y)dy,$

ובמקרה זה,

$F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{\frac {-(y-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}dy.$

למרבה הצער, אין לאינטגרל זה פתרון סגור. מה עושים, אם כן?

ראשית, נגדיר

$\ \Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {-(y)^{2}}{2}}dy$

כהתפלגות המצטברת של מ"מ נורמלי תקני $X\sim N(0,1)$. נראה כי בעזרת ערכי $\phi (x)$ אפשר לחשב את ההתפלגות המצטברת של כל מ"מ גאוסי אחר.

משפט: נניח מ"מ $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$. אז $F_{X}(x)=\phi \left({x-\mu \over \sigma }\right).$

הוכחה: לפי הגדרה, $F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leq x)$. נגדיר מ"מ חדש $\ Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}$. נשים לב כי המ"מ מתפלג $\ Z\sim N(0,1)$. נשים לב גם כי

$\ \mathbb {P} (X\leq x)=\mathbb {P} \left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\leq {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)=\mathbb {P} \left(Z\leq {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)$

הביטוי האחרון הנו בדיוק

$\ \Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)$

מהמשפט הקודם נובע כי מספיק לדעת את ערכי $\Phi$ עבור ערכי $x$ שונים. מסיבה זו אפשר למצוא טבלאות של ערכי פונקציה זו. למעשה, הטבלאות מכילות לרוב רק את ערכי $\Phi$ עבור ערכי $x$ לא שליליים, וזאת משום שהפונקציה $\Phi$ הנה סימטרית.

תרגיל : הראה כי $\ \Phi (-x)=1-\Phi (x)$.

ראו גם

ערך בוויקיפדיה: התפלגות נורמלית

-

התפלגות נורמלית

-