הסתברות/משפט הגבול המרכזי

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
פילוג בינומי וגאוסי

משפט הגבול המרכזי אומר שאם נקח סדרת מ"מ בתמ"ז, אז כעבור n קונבולוציות נקבל התפלגות שקרובה להתפלגות גאוסית.

המתמטיקאי אברהם דה-מואבר הציג את ההתפלגות הנורמלית לראשונה בשנת 1733 כקירוב להתפלגות הבינומית עבור מספר גדול של דגימות. יש לשים לב לדקות הבאה: בעוד שפונקצית ההתפלגות של מ"מ בינומי דומה להתפלגות הגאוסית, כאן מדובר במספר רב של מ"מ בינומיים, אשר מתפלגים יחד התפלגות גאוסית.

מקרה פרטי[עריכה]

משפט: הגבול המרכזי (עבור μ=0)

תהי {Xi} סדרת מ"מ בתמ"ז בעלי תוחלת μ=0 ושונות σ2 אז .

במילים אחרות, בהתפלגות.

שימו לב כי:

הוכחה[עריכה]

נגדיר מ"מ חדשים: , כך שמתקיים: . על מנת להראות התכנסות להתפלגות הגאוסית נראה כי הפונקיות האופייניות זהות, כלומר ש: :

כעת נפתח לטור טיילור עם שלושה איברים מובילים (בהמשך נלך לגבול ושאר האיברים יפלו ממילא):

נציב ונקבל:

כלומר קיבלנו שלסדרת המ"מ בתמ"ז שלנו יש אותה פונקציה אופיינית כמו לפילוג הגאוסי, ולכן פונקציות ההסתברות שלהן זהות.

מקרה כללי[עריכה]

משפט: הגבול המרכזי (כללי)

תהי {Xi} סדרת מ"מ בתמ"ז בעלי תוחלת μ ושונות σ2 אז .

במילים אחרות, בהתפלגות.

שוב,

הוכחה[עריכה]

נתקן את המ"מ לבעלי תוחלת 0 ונשתמש במקרה הפרטי: נגדיר כך שמתקיים . על פי המקרה הפרטי מתקיים:

אבל:

ולכן:

סיכום[עריכה]

אם S הוא סכום מ"מ בתמ"ז, אז הוא בקירוב מתפלג גאוסית עם התוחלת והשונות המקוריים שלו: . בפירוט רב יותר:

ואז:

כאשר מגדירים:

לרוב המקרים, הנוסחה השימושית היא זו האחרונה, ועבור קטע היא מקבלת את הצורה:

דוגמאות[עריכה]

(להשלים)

קישורים חיצוניים[עריכה]


- משפט הגבול המרכזי -