הסתברות/משפט הגבול המרכזי

פילוג בינומי וגאוסי

משפט הגבול המרכזי אומר שאם נקח סדרת מ"מ בתמ"ז, אז כעבור n קונבולוציות נקבל התפלגות שקרובה להתפלגות גאוסית.

המתמטיקאי אברהם דה-מואבר הציג את ההתפלגות הנורמלית לראשונה בשנת 1733 כקירוב להתפלגות הבינומית עבור מספר גדול של דגימות. יש לשים לב לדקות הבאה: בעוד שפונקצית ההתפלגות של מ"מ בינומי דומה להתפלגות הגאוסית, כאן מדובר במספר רב של מ"מ בינומיים, אשר מתפלגים יחד התפלגות גאוסית.

מקרה פרטי

משפט: הגבול המרכזי (עבור μ=0) תהי {Xi} סדרת מ"מ בתמ"ז בעלי תוחלת μ=0 ושונות σ2 אז $\ \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} \left({S_{n} \over \sigma {\sqrt {n}}}\leq x\right)=\Phi (x)$.

במילים אחרות, $\ {S_{n} \over {\sqrt {n}}}\to N(0,\sigma ^{2})$ בהתפלגות.

שימו לב כי:

• $\ \mathbb {E} {S_{n} \over \sigma {\sqrt {n}}}=0$
• $\ Var\left({S_{n} \over \sigma {\sqrt {n}}}\right)={Var(S_{n}) \over n\sigma ^{2}}={n\sigma ^{2} \over n\sigma ^{2}}=1$

הוכחה

נגדיר מ"מ חדשים: $\ {\tilde {X}}_{i}={X_{i} \over \sigma }$, כך שמתקיים: $\ \mathbb {E} {\tilde {X}}_{i}=0\ ,\ Var{\tilde {X}}_{i}=1$. על מנת להראות התכנסות להתפלגות הגאוסית נראה כי הפונקציות האופייניות זהות, כלומר ש: $\ \phi _{S_{n} \over {\sqrt {n}}}\to e^{-{s^{2} \over 2}}$:

$\ \phi _{S_{n} \over {\sqrt {n}}}(s)\ =\ \phi _{S_{n}}\left({s \over {\sqrt {n}}}\right)\ =\ \prod \limits _{i=1}^{n}\phi _{{\tilde {X}}_{i}}\left({s \over {\sqrt {n}}}\right)\ =\ \left[\phi _{{\tilde {X}}_{1}}\left({s \over {\sqrt {n}}}\right)\right]^{n}$

כעת נפתח לטור טיילור עם שלושה איברים מובילים (בהמשך נלך לגבול ושאר האיברים יפלו ממילא):

$\ {\begin{array}{lcl}\phi (0)&=&1\\\phi '(0)&=&i\mathbb {E} {\tilde {X}}_{i}\ =\ 0\\\phi ''(0)&=&i^{2}\mathbb {E} {\tilde {X}}_{i}^{2}\ =\ -1\\\phi (s)&=&1-{s^{2} \over 2}+R_{3}\end{array}}$

נציב ונקבל:

$\ \left[\phi _{{\tilde {X}}_{1}}\left({s \over {\sqrt {n}}}\right)\right]^{n}=\left(1-{s^{2} \over 2n}+{R_{3} \over {\sqrt {n}}}\right)^{n}=\left(1+{-{s^{2} \over 2}+R_{3}{\sqrt {n}} \over n}\right)^{n}\to \left(1+{-{s^{2} \over 2} \over n}\right)^{n}\to e^{-{s^{2} \over 2}}$

כלומר קיבלנו שלסדרת המ"מ בתמ"ז שלנו יש אותה פונקציה אופיינית כמו לפילוג הגאוסי, ולכן פונקציות ההסתברות שלהן זהות.

מקרה כללי

משפט: הגבול המרכזי (כללי) תהי {Xi} סדרת מ"מ בתמ"ז בעלי תוחלת μ ושונות σ2 אז $\ \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} \left({S_{n}-n\mu \over \sigma {\sqrt {n}}}\leq x\right)=\Phi (x)$.

במילים אחרות, $\ {S_{n}-n\mu \over {\sqrt {n}}}\to N(0,\sigma ^{2})$ בהתפלגות.

שוב,

• $\ \mathbb {E} {S_{n}-n\mu \over \sigma {\sqrt {n}}}=0$
• $\ Var\left({S_{n}-n\mu \over \sigma {\sqrt {n}}}\right)=1$

הוכחה

נתקן את המ"מ לבעלי תוחלת 0 ונשתמש במקרה הפרטי: נגדיר $\ {\hat {X}}_{i}=X_{i}-\mu$ כך שמתקיים $\ \mathbb {E} {\hat {X}}_{i}=0\ ,\ Var{\hat {X}}_{i}=\sigma ^{2}$. על פי המקרה הפרטי מתקיים:

$\ \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} \left({{\hat {S}}_{n} \over \sigma {\sqrt {n}}}\leq x\right)=\Phi (x)$

אבל:

$\ \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} \left({{\hat {S}}_{n} \over \sigma {\sqrt {n}}}\leq x\right)=\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} \left({S_{n}-n\mu \over \sigma {\sqrt {n}}}\leq x\right)\ \Rightarrow \ \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} \left(S_{n}\leq \overbrace {n\mu +x\sigma {\sqrt {n}}} ^{\hat {x}}\right)=\Phi (x)$

ולכן:

$\ \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} (S_{n}\leq {\hat {x}})=\Phi \left({{\hat {x}}-n\mu \over \sigma {\sqrt {n}}}\right)$

סיכום

אם S הוא סכום מ"מ בתמ"ז, אז הוא בקירוב מתפלג גאוסית עם התוחלת והשונות המקוריים שלו: $\ S\sim N(\mathbb {E} S,VarS)$. בפירוט רב יותר:

$\ {\begin{array}{lcl}{S_{n}-n\mu \over {\sqrt {n}}}&\to &N(0,\sigma ^{2})\\S_{n}-n\mu &\to &N(0,n\sigma ^{2})\\S_{n}&\to &N(n\mu ,n\sigma ^{2})\\\end{array}}$

ואז:

$\ {\begin{array}{lcl}\mathbb {P} \left({S_{n}-n\mu \over \sigma {\sqrt {n}}}\leq x\right)&\approx &\Phi (x)\\\mathbb {P} \left(S_{n}\leq n\mu +\sigma {\sqrt {n}}x\right)&\approx &\Phi (x)\\\mathbb {P} (S_{n}\leq {\hat {x}})&\approx &\Phi \left({{\hat {x}}-n\mu \over \sigma {\sqrt {n}}}\right)\\\end{array}}$

כאשר מגדירים:

$\ {\hat {x}}=n\mu +\sigma {\sqrt {n}}x\quad ,\quad x={{\hat {x}}-n\mu \over \sigma {\sqrt {n}}}$

לרוב המקרים, הנוסחה השימושית היא זו האחרונה, ועבור קטע היא מקבלת את הצורה:

$\mathbb {P} (a\leq S_{n}\leq b)\approx \Phi \left({b-n\mu \over \sigma {\sqrt {n}}}\right)-\Phi \left({a-n\mu \over \sigma {\sqrt {n}}}\right)$

דוגמאות

(להשלים)

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: משפט הגבול המרכזי

-

משפט הגבול המרכזי

-