הסתברות/פונקציה אופיינית

הגדרה: פונקציה אופיינית עבור מ"מ X, נגדיר לכל s ממשי את הפונקציה: $\ \phi _{X}(s)=\mathbb {E} e^{isX}$, כך שבמקרה של מ"מ רציף נקבל: $\ \phi _{X}(s)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{isx}f_{X}(x)dx$.

שימו לב כי זוהי התמרת פורייה (הפוכה) של פונקציית הצפיפות (PDF).

תכונות

• φ מוגדרת וסופית לכל s ממשי כי $\ |e^{isX}|=1$.
• שיוויון של פונקציות אופייניות גורר שוויון של פונקציות התפלגות, כלומר: $\ F_{X}=F_{Y}\ \iff \ \phi _{X}(s)=\phi _{Y}(s)$.
• $\ \phi _{X}(0)=1$
• $\ \phi _{aX+b}(s)=e^{isb}\phi _{X}(as)$
• אם X,Y ב"ת אז התמרה של קונבולוציה היא מכפלת ההתמרות: $\ \phi _{X+Y}(s)=\phi _{X}(s)\phi _{Y}(s)$.
• בדומה לפונקציה יוצרת המומנטים, גם באמצעות הפונקציה האופיינית ניתן לקבל את המומנטים: אם ל-$\ |X|^{k}$ יש תוחלת סופית אז $\ \phi _{X}^{(k)}(0)=i^{k}\mathbb {E} X^{k}=i^{k}m_{k}$.
• אם ידועים כל המומנטים ניתן לקבל את הפונקציה האופיינית באמצעות טור מתאים: $\ \mathbb {E} e^{isX}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{(is)^{k} \over k!}\mathbb {E} X^{k}$. זאת, פרט למקרים פתולוגיים מסוימים בהם סדרת המומנטים גדלה מהר מדי. דוגמה לכך היא ההתפלגות הלוג-נורמלית.
• במקרים פתולוגיים מסויימים, הפונקציה האופיינית אינה מגדירה חד משמעית את חוק ההסתברות.

-

פונקציה אופיינית

-