מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשע"ב/035804/תרגיל 3

נוסח השאלה

הפניה לטופס

סעיף א

תת סעיף 1

$P(Defect)=P({\text{Defect from A or Defect from B or Defect from C}})$

כל מנורה מיוצרת במכונה אחת ולכן האירועים זרים

$P(Defect)=P({\text{Defect from A}})+P({\text{Defect from B}})+P({\text{Defect from C}})$

$P({\text{Defect from A}})=P({\text{from A}})P(Defect|A)=0.6*0.02=0.012$

$P({\text{Defect from B}})=P({\text{from B}})P(Defect|B)=0.3*0.03=0.009$

$P({\text{Defect from C}})=P({\text{from C}})P(Defect|C)=0.1*0.04=0.004$

$P(Defect)=0.012+0.009+0.004=0.025$

תת סעיף 2

למעלה חישבנו כי

$P({\text{Defect from C}})=P(fromC)P(Defect|C)=0.1*0.04=0.004$

$P(Defect)=0.012+0.009+0.004=0.025$

$P(({\text{Defect from C}}|Defect)=P((DefectfromC)/P(Defect)=0.004/0.025=0.16$

סעיף ב

הסיכוי לנורה תקינה הוא $P(OK)=1-P(Defect)=1-0.025=0.975$ אנו בוחרים 5 נורות ולכן אנו דוגמים מהתפלגות $B(5,0.975)$

האפשרויות לקבלת עד 3 נורות תקינות הן 0,1,2 או 3.

נזכיר שמתמטיקה היא מקצוע לעצלנים.

במקום לחשב לפי אפשרויות האלו ננצל את העובדה ש $P(atmost3OK)=1-P(morethan3OK)=1-P(4OKor5OK)$

כך נחשב רק את הסיכוי ל 2 אפשרויות במקום לארבע.

ההסתברות לקבלת k הצלחות ב-n ניסויים ($k=0,1,\ldots ,n$) היא:

$P\left(X=k\right)={n \choose k}p^{k}\left(1-p\right)^{n-k}$

$P(4OK)={5 \choose 4}0.975^{4}*0.025$

נוסחת הבינום היא $\ n!={\binom {n}{k}}\cdot k!\cdot (n-k)!$, ולכן: $\ {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}$

מכאן ${5 \choose 4}=5!/(4!*1!)=5$

$P(4OK)=5*0.975^{4}*0.025=0.112960986$

$P(5OK)={5 \choose 5}0.975^{5}*0.025^{0}=0.975^{5}=0.881095693$

$P({\text{4 OK or 5 OK}})=0.99405668$

$P({\text{at most 3 OK}})=1-P({\text{4 OK or 5 OK}})=0.00594332$

העשרה

• כיצד לאזן מטבע לא הוגן?