מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשע"ב (ניסוי)/035804/תרגיל 3

נוסח השאלה

הפניה לטופס

סעיף א

נסמן בטבלה את האפשרויות למחשב תקין ולתוצאה

הסתברות	חישוב	תוצאה	מחשב
0.893	0.94*0.95	תקין	תקין
0.047	0.94*0.05	לא תקין	תקין
0.0012	0.06*0.02	תקין	לא תקין
0.0588	0.06*0.98	לא תקין	לא תקין

$P(\text{identified as OK})=0.893+0.0012=0.8942$

שימו לב כי לא סתם ביקשו לדייק במספרים על 4 ספרות לאחר הנקודה.

זו הייתה בחירת מספרים אומללה של כותב השאלה.

סעיף ב

בסעיף א חישבנו כי הסיכוי למחשב מזוהה כתקין הוא $P(\text{identified as OK})=0.8942$ אנו בוחנים 4 פעמים ולכן אנו דוגמים מהתפלגות $B(4,0.8942)$

ההסתברות לקבלת k הצלחות ב-n ניסויים ($k=0,1,\dots ,n$) היא:

$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{(1-p)}^{n-k}$

$P(Logo)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4})0.8942^4\ast (1-0.8942{)}^0=0.8942^4=<math>P(recycle)=P(\text{at most 2 invalid})=1-P(\text{OK 4 times})-P(\text{OK 3 times})=1-0.3025-0.6393=0.0582$49989 </math>

סעיף ג

מחשב ישלח למיחזור אם יחשב ללא תקין לפחות 2 פעמים.

כלומר אם היינו מחשבים ישירות היינו צריכים לחשב את הסיכוי שיחשב ללא תקין 2, 3 או 4 פעמים.

אולם, אנו נחגוג את העובדה שמתמטיקה היא מקצוע לעצלנים.

המשלים של להחשב לא תקין לפחות שתי פעמים הוא להחשב לא תקין 0 או פעם 1.

את הסיכוי להחשב לא תקין 0 פעמים חישבנו בסעיף הקודם (גם אנחנו ממחזרים).

לכן נותר לנו לחשב את הסיכוי להחשב לא תקין פעם אחת (כלומר להחשב לתקין 3 פעמים).

$P(\text{OK 3 time})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3})0.8942^3\ast (1-0.8942{)}^1$

נוסחת הבינום היא $n!=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot k!\cdot (n-k)!$, ולכן: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$

מכאן $(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3})=4!/(3!\ast 1!)=4$

$P(\text{OK 3 time})=4\ast 0.8942^3\ast 0.1058=0.302586575$

העשרה

• גאוס ואסטרואיד קרס