מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תש"ע (ניסוי)/035804/תרגיל 3

נוסח השאלה

הפניה לטופס

סעיף א

תת סעיף 1

נתון כי

$P(\text{Passed stats})=0.8$

$P(\text{Passed prob})=0.6$

$P(\text{Passed all})=P(\text{Passed prob}{)}^2\ast P(\text{Passed stats})=0.6\ast 0.6\ast 0.80=0.288$

תת סעיף

$P(\text{Passed two})=P(\text{Failed stats})\ast P(\text{Passed both prob})+P(\text{Passed stats})\ast P(\text{Passed exactly one prob})$

נחשב את ההסתברות לשני המקרים

$P(\text{Failed stats})\ast P(\text{Passed both prob})=0.2\ast 0.6\ast 0.6=0.072$

אנו נבחנים בהסתברות 2 פעמים ולכן אנו דוגמים מהתפלגות $B(2,0.6)$

ההסתברות לקבלת k הצלחות ב-n ניסויים ($k=0,1,\dots ,n$) היא:

$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{(1-p)}^{n-k}$

$P(\text{Passed exactly one prob})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})\ast 0.6\ast 0.4$ נוסחת הבינום היא $n!=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot k!\cdot (n-k)!$, ולכן: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$

מכאן $(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})=2!/(1!\ast 1!)=2$

$P(\text{Passed exactly one prob})=2\ast 0.6\ast 0.4=0.48$ $P(\text{Passed stats})\ast P(\text{Passed exactly one prob})=0.8\ast 0.48=0.384$

$P(\text{Passed two})=0.072+0.384=0.456$

תת סעיף 3

ניתן לעבור את המבחן במעבר שתים מהבחינות או כל הבחינות. את הסיכוי לאירועים אילו חישבנו מוקדם יותר. $P(\text{Passed exam})=P(\text{Passed all})+P(\text{Passed two})$ $P(\text{Passed exam})=P(\text{Passed all})+P(\text{Passed two})=0.288+0.456=0.744$

סעיף ב

יש לחשב את $P(\text{Passed both prob}|\text{Passed exam})$

$P(\text{Passed both prob}|\text{Passed exam})=\frac{P(\text{Passed both prob and Passed exam})}{P(\text{Passed exam})}$

נשים לב כי שרבגע שתלמיד עובר את שתי הבחינות בססתברות מובטח כי הוא עובר את הבחינה ולכן $P(\text{Passed both prob and Passed exam})=P(\text{Passed both prob})$

ולכן $P(\text{Passed both prob}|\text{Passed exam})=\frac{P(\text{Passed both prob})}{P(\text{Passed exam})}$

מוקדם יותר חישבנו כי $P(\text{Passed exam})=0.288+0.456=0.744$

$P(\text{Passed both prob})=0.6\ast 0.6=0.36$

$P(\text{Passed both prob}|\text{Passed exam})=\frac{P(\text{Passed both prob})}{P(\text{Passed exam})}=\frac{0.36}{0.744}=0.483870968$

העשרה

• פרדוקס סימפסון