מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ ב, תשע"ד/035804/תרגיל 3

נוסח השאלה

הפניה לטופס

סעיף א

נתון כי מספר הבנות גדול פי 3 ממספר הבנים.

מכאן הסיכוי לבחור בת הוא $3/(3+1)=3/4$.

נחשב את הסיכוי לכך שבת תרצה להמשיך ללימודים אקדמיים.

נתון כי

P(wants academic) = 0.6

P(wants academic |male) = 0.8

(P(wants academic) = P(male)*P(wants academic |male + (p(female)*P(wants academic |female = 0.25*0.8 + 0.75*(P(wants academic |female = 0.6

0.8*0.25 = 0.2

נחסר משני אגפי המשוואה ונקבל

0.4 = 0.75*P(wants academic |female)

נחלק ב 0.75 ונקבל P(wants academic |female) = 0.533

נציג בטבלה את ההסתברויות

הסתברות	חישוב	מעונין בלימודים	מין
0.05	0.25*0.2	לא	בן
0.2	0.25*0.8	כן	בן
0.3525	0.75*0.47	לא	בת
0.3975	0.75*0.53	כן	בת

נוודא שלא טעינו בחישוב. סכום ההסתברויות 0.05+ 0.2 + 0.3525 + 0.3975 = 1 הסיכוי לרצות לימודים שווה 0.2 + 0.3975 = 0.3975 ~ 0.6, כנתון (אי שיוויון כי עיגלנו את הסיכוי של בת לרצות לימודים).

חשוב מאד להציב את התוצאות ולבדוק אותן כדי להמנע משגיאות חישוב. זהו ניצול מצויין של זמן המבחן.

תת סעיף 1

הסיכוי לדגום בת הרוצה להמשיך לללימודים הוא 0.3975.

תת סעיף 2

ההסתברות שבת תרצה להמשיך בלימודים חושב למעלה. P(wants academic |female) = 0.533

סעיף ב

נתון כי P(wants academic) = 0.6 וכי אנו דוגמים 5 תלמידים.

מכאן שאנו דוגמים מהתפלגות בינומית (B(5,0.6

האפשרויות לקבל לפחות 4 מעוניינים הם קבלת 4 או 5 מעוניינים.

P(at least 4) = P(4 interested) + p(5 interested)‎

ההסתברות לקבלת k הצלחות ב-n ניסויים ($k=0,1,\ldots ,n$) היא:

$P\left(X=k\right)={n \choose k}p^{k}\left(1-p\right)^{n-k}$

$p(5{\text{ interested}})={5 \choose 5}0.6^{5}0.4^{0}=0.6^{5}=0.07776$

$p(4interested)={5 \choose 4}0.6^{4}*0.4^{1}$

נוסחת הבינום היא $\ n!={\binom {n}{k}}\cdot k!\cdot (n-k)!$, ולכן: $\ {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}$

מכאן ${5 \choose 4}=5!/(4!*1!)=(5*4*3*2*1)/((4*3*2*1)*1)=5$

$0.6^{4}=0.1296$

$p(4{\text{ interested}})={5 \choose 4}0.6^{4}*0.4^{1}=5*0.1296*0.4$=

$p({\text{at least 4 interested}})=0.07776+0.2592=0.33696$

העשרה

• איך לגלות זיוף בשיעורי הבית והאם יש יד חמה בכדורסל?