מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ ב, תשע"א (ניסוי)/035804/תרגיל 3

נוסח השאלה

הפניה לטופס

סעיף א

תת סעיף 1

המספרים הזוגיים הגדולים מ-3 בקוביה הם 4 ו 6.

$P(\text{Even and greater than 3})=P(\text{4 or 6})=2/6=1/3$

תת סעיף 2

סוף סוף שאלה יפה.

$P(Even)=P(\text{Greater than 3})=1/2$

התפלגות של משתנים בלתי תלויים מקיימת

$P(A,B)=P(A)(B)$

שימו לב כי A ו B הם משתנים ולא אירועים.

כדי להראות שלא מתקיימת אי תלות מספיק להציג אירוע שההסתברות לו שונה מההסתברות לו המשתנים היו בלתי תלויים.

נחשב את ההסתברות לאירוע מהסעיף הקודם לפי הנחת אי תלות

$P(Even)\ast P(\text{Greater than 3})=1/2\ast 1/2=1/4<>1/3$

מצאנו אירוע עבור ההסתברות לא זהה להסתברות הבלתי תלויה ולכן המשתנים תלויים.

שימו לב שאם היינו צריכים להראות תלות היה צריך להראות שההסתברות שווה לכל האירועים.

סעיף ב

בסעיף א חישבנו כי הסיכוי לזוגי הגדול משלוש הוא $P(\text{Even and greater than 3})=1/3$ אנו מטילים קוביה 3 פעמים ולכן אנו דוגמים מהתפלגות $B(3,1/3)$

ההסתברות לקבלת k הצלחות ב-n ניסויים ($k=0,1,\dots ,n$) היא:

$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{(1-p)}^{n-k}$

$P(Good2times)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})(1/3{)}^2\ast (2/3{)}^1$

נוסחת הבינום היא $n!=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot k!\cdot (n-k)!$, ולכן: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$

מכאן $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})=3!/(2!\ast 1!)=3$

$P(\text{Good 2 times})=3\ast (1/3{)}^2\ast (2/3{)}^1=2/9$

בסעיף ג

כאשר מקבלים מספר מתאים רק בהטלה הראשונה והשלישית, מקבלים מספר מתאים פעמיים.

זהו אחד מהמקרים שסכמנו בסעיף ב.

בסעיף ב סדר ההצלחות השפיע על מספר המקרים שאנו סוכמים, לא על ההסתברות להם.

$P(\text{Good just at first and last})=(1/3{)}^2\ast (2/3{)}^1=2/27$

סעיף ד

שימו לב כי בסעיף זה, להבדיל מסעיף ג, לא משנה לנו מה תהיה התוצאה בהטלה השניה.

ולכן, נחשב רק את הסיכוי להטלה הראשונה והשלישית.

$P(\text{Good at first and last})=(1/3{)}^2=1/9$

העשרה

• הפרדוקס של ברטראן