מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
חוק המספרים הגדולים עוסק בממוצע של תוצאות ניסויים (מדגמים) רבים.
[ עריכה ]
משפט: חוק המספרים הגדולים החלש
תהי {Xi} סדרת מ"מ בתמ"ז, בעלי תוחלת μ ושונות σ2 . אז לכל δ>0 מתקיים:
lim
n
→
∞
P
(
|
S
n
n
−
μ
|
>
δ
)
=
0
{\displaystyle \ \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} \left(\left|{S_{n} \over n}-\mu \right|{\color {Red}>}\delta \right)={\color {Red}0}}
lim
n
→
∞
P
(
|
S
n
n
−
μ
|
<
δ
)
=
1
{\displaystyle \ \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} \left(\left|{S_{n} \over n}-\mu \right|{\color {Blue}<}\delta \right)={\color {Blue}1}}
הגדרה: התכנסות בהסתברות
נאמר שסדרת המ"מ Un מתכנסת-בהסתברות ל-a אם ורק אם:
P
(
|
U
n
−
a
|
>
δ
)
→
0
,
∀
δ
>
0
{\displaystyle \ \mathbb {P} (|U_{n}-a|>\delta )\to 0\ ,\ \forall \delta >0}
כלומר המשפט קובע כי הממוצע מתכנס-בהסתברות לתוחלת. בדומה, לגבי הפונקציה האופיינית נגדיר:
הגדרה: התכנסות בהתפלגות
נאמר שסדרת המ"מ Un מתכנסת-בהתפלגות למ"מ a אם ורק אם:
ϕ
U
n
(
s
)
→
ϕ
a
(
s
)
,
∀
s
{\displaystyle \ \phi _{U_{n}}(s)\to \phi _{a}(s)\ ,\ \forall s}
נפגוש מושג זה בפיתוח משפט הגבול המרכזי . על פי אי שוויון צ'בישב :
0
≤
P
(
|
S
n
n
−
μ
|
>
δ
)
≤
V
a
r
(
S
n
n
)
δ
2
=
σ
2
δ
2
n
{\displaystyle \ 0\leq \mathbb {P} \left(\left|{S_{n} \over n}-\mu \right|>\delta \right)\leq {Var\left({S_{n} \over n}\right) \over \delta ^{2}}={\sigma ^{2} \over \delta ^{2}n}}
ולכן:
lim
n
→
∞
P
(
|
S
n
n
−
μ
|
>
δ
)
=
lim
n
→
∞
σ
2
δ
2
n
=
0
{\displaystyle \ \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} \left(\left|{S_{n} \over n}-\mu \right|>\delta \right)=\lim \limits _{n\to \infty }{\sigma ^{2} \over \delta ^{2}n}=0}
[ עריכה ]
משפט: חוק המספרים הגדולים החזק
תהי {Xi} סדרת מ"מ בתמ"ז, בעלי תוחלת μ ושונות σ2 . אז
lim
n
→
∞
S
n
n
=
μ
{\displaystyle \ \lim \limits _{n\to \infty }{S_{n} \over n}=\mu }
תנאי קולמוגורוב : הטור
∑
V
(
X
n
)
n
2
{\displaystyle \ \sum {\frac {V(X_{n})}{n^{2}}}}
שימו לב כי מהחוק החזק ניתן להסיק את החוק החלש, וכי החוק החזק עצמו הוא גרסה חלשה של משפט הגבול המרכזי .
(להשלים)
תהי Xi סדרת מ"מ בתמ"ז בעלי פונקצית ההתפלגות:
F
X
i
(
x
)
=
{
0
,
x
<
0
1
2
+
x
2
2
,
0
≤
x
<
1
1
,
x
≥
1
{\displaystyle \ F_{X_{i}}(x)={\begin{cases}0,&x<0\\{1 \over 2}+{x^{2} \over 2},&0\leq x<1\\1,&x\geq 1\end{cases}}}
עבור איזה ערך של a מתקיים:
lim
n
→
∞
P
(
|
∑
i
=
1
n
X
i
n
−
a
|
>
ϵ
)
=
0
{\displaystyle \ \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} \left(\left|{\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i} \over n}-a\right|>\epsilon \right)=0}
פתרון: שימו לב כי פונקצית ההתפלגות אינה רציפה ובעלת קפיצה בגודל 0.5 בראשית. ואם אכן נגזור ללא זהירות על מנת לקבל את פונקצית הצפיפות, אינטגרציה בתחום תתן 0.5 בלבד, כך שיחד עם הקפיצה מקבלים 1. כעת, על פי כלל המספרים הגדולים, a הוא התוחלת של Xi . נשתמש בהגדרה החלופית של התוחלת, עבור מ"מ חיובי:
E
X
i
=
∫
0
∞
(
1
−
F
X
(
x
)
)
d
x
=
1
3
{\displaystyle \ \mathbb {E} X_{i}=\int \limits _{0}^{\infty }(1-F_{X}(x))dx={1 \over 3}}
שימו לב כי אינטגרציה על פני
x
f
X
c
(
x
)
{\displaystyle \ xf_{X}^{c}(x)}
E
X
d
=
∑
x
P
(
X
=
x
)
{\displaystyle \ \mathbb {E} X^{d}=\sum x\mathbb {P} (X=x)}
