הסתברות/iid

סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים ומפולגים זהה

אוסף של משתנים מקריים אשר לכל אחד מהם פונקצית הסתברות זהה, והם בלתי-תלויים, נקרא "סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים ומפולגים זהה" - בתמ"ז (iid - independent and identically distributed).

כאשר מניחים שתצפית כלשהי היא סדרת מ"מ בתמ"ז, הטיפול המתמטי פשוט יותר, אך במקרים רבים הנחה זו אינה מציאותית.

אם למשל נגדיר את X_i בתור תוצאת הרולטה ה-i-ית, מבחינה מעשית X_i הם בתמ"ז, כי בכל סיבוב הסיכוי של כל מספר הוא זהה, ואין שום תלות בתוצאה שהתקבלה בכל הניסויים הקודמים.

הגדרה: לכל $\ 0\leq i\leq n$ נגדיר: $\ \mathbb {E} X_{i}=\mu \ ,\ VarX_{i}=\sigma ^{2}$ ונניח שהם קיימים וסופיים.

סכום של מ"מ בתמ"ז

הגדרה: סכום מ"מ בתמ"ז $\ S_{n}=X_{1}+X_{2}+...+X_{n}$

הסכום הנ"ל הוא למעשה קונבולוציה n פעמים.

1. התוחלת של S_n:
   מלינאריות התוחלת: $\ \mathbb {E} S_{n}=\mathbb {E} \sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}=\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbb {E} X_{i}=n\mu$
2. השונות של S_n:
   עקב אי-תלות: $\ Var(S_{n})=Var\left(\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum \limits _{i=1}^{n}Var(X_{i})=n\sigma ^{2}$
3. התוחלת של הממוצע $\ {S_{n} \over n}$:
   מלינאריות התוחלת: $\ \mathbb {E} {S_{n} \over n}={\mathbb {E} S_{n} \over n}={n\mu \over n}=\mu$
4. השונות של הממוצע $\ {S_{n} \over n}$:
   עקב אי-תלות: $\ Var\left({S_{n} \over n}\right)={Var(S_{n}) \over n^{2}}={n\sigma ^{2} \over n^{2}}={\sigma ^{2} \over n}$

שימו לב כי ככל ש-n גדל, השונות הולכת וקטנה פי n אך μ נשאר אותו הדבר. במילים אחרות, עבור n-ים גדולים, הממוצע רגיש פחות ופחות לשינויים.

דוגמאות

• הפילוג המעריכי מהווה קירוב טוב לזמן חיים של נורה. אם $\ X_{i}\sim Exp(\lambda )$ הוא זמן החיים של הנורה ה-i-ית, אז $\ S_{n}\sim \Gamma (n,\lambda )$ הוא התפלגות זמן החיים של n הנורות הראשונות.

(להשלים: עוד דוגמאות)

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: iid (בויקיפדיה האנגלית)

-

iid

-