מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
[ עריכה ]
משפט: תוחלת של פונקציה של וקטור
יהי
X
→
=
(
X
1
,
.
.
.
,
X
n
)
{\displaystyle \ {\vec {X}}=(X_{1},...,X_{n})}
f
X
→
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle \ f_{\vec {X}}(x_{1},...,x_{n})}
h
:
R
n
→
R
{\displaystyle \ h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
Y
=
h
(
X
1
,
.
.
.
,
X
n
)
{\displaystyle \ Y=h(X_{1},...,X_{n})}
E
Y
=
∫
−
∞
∞
.
.
.
∫
−
∞
∞
h
(
X
1
,
.
.
.
,
X
n
)
f
X
→
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
d
x
1
.
.
.
d
x
n
{\displaystyle \ \mathbb {E} Y=\int \limits _{-\infty }^{\infty }...\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(X_{1},...,X_{n})f_{\vec {X}}(x_{1},...,x_{n})dx_{1}...dx_{n}}
במקרה הדיסקרטי: אם Y מקבל את הערכים הבדידים
X
→
i
{\displaystyle \ {\vec {X}}_{i}}
i , אז התוחלת של Y היא:
E
Y
=
∑
h
(
X
→
i
)
p
i
{\displaystyle \ \mathbb {E} Y=\sum h({\vec {X}}_{i})p_{i}}
תוחלת של סכום היא תמיד סכום התוחלות (כאשר הן קיימות):
E
(
X
+
Y
)
=
E
X
+
E
Y
{\displaystyle \ \mathbb {E} (X+Y)=\mathbb {E} X+\mathbb {E} Y}
עבור מ"מ בלתי-תלויים, תוחלת של מכפלה היא מכפלת התוחלות:
E
X
Y
=
E
X
E
Y
{\displaystyle \ \mathbb {E} XY=\mathbb {E} X\mathbb {E} Y}
יהיו X,Y מ"מ בלתי תלויים. נתון כי
E
X
<
∞
,
E
Y
<
∞
{\displaystyle \ \mathbb {E} X<\infty \ ,\ \mathbb {E} Y<\infty }
E
X
Y
=
E
X
E
Y
{\displaystyle \ \mathbb {E} XY=\mathbb {E} X\mathbb {E} Y}
פתרון: נשתמש בהגדרת התוחלת ואז (בזכות אי התלות) נפרק את פונקצית הצפיפות המשותפת לפונקציות הצפיפות השוליות:
E
X
Y
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
x
y
f
X
,
Y
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
x
f
X
(
x
)
y
f
Y
(
y
)
d
x
d
y
=
{\displaystyle \ \mathbb {E} XY=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }xyf_{X,Y}(x,y)dxdy=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }xf_{X}(x)yf_{Y}(y)dxdy=}
=
∫
−
∞
∞
x
f
X
(
x
)
d
x
∫
−
∞
∞
y
f
Y
(
y
)
d
y
=
E
X
E
Y
{\displaystyle \ =\int \limits _{-\infty }^{\infty }xf_{X}(x)dx\int \limits _{-\infty }^{\infty }yf_{Y}(y)dy=\mathbb {E} X\mathbb {E} Y}
יהיו X,Y ו"א בלתי תלויים כך ש-
X
,
Y
∼
U
[
0
,
1
]
{\displaystyle \ X,Y\sim U[0,1]}
פתרון: נגדיר
S
=
X
Y
{\displaystyle \ S=XY}
E
S
=
E
(
X
Y
)
=
∫
0
1
∫
0
1
x
y
f
X
(
x
)
f
Y
(
y
)
d
x
d
y
=
∫
0
1
x
f
X
(
x
)
d
x
∫
0
1
y
f
Y
(
y
)
d
y
=
E
X
E
Y
=
1
4
{\displaystyle \ \mathbb {E} S=\mathbb {E} (XY)=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}xyf_{X}(x)f_{Y}(y)dxdy=\int \limits _{0}^{1}xf_{X}(x)dx\int \limits _{0}^{1}yf_{Y}(y)dy=\mathbb {E} X\mathbb {E} Y={1 \over 4}}
שימו לב כי קיבלנו שהמשתנים בלתי תלויים, אבל זה לא מפתיע כי הקטעים המגדירים את התחום מקבילים לצירים.
כעת נחשב את השונות:
V
a
r
S
=
E
S
2
−
(
E
S
)
2
=
∫
0
1
∫
0
1
x
2
y
2
d
x
d
y
−
(
1
4
)
2
=
1
9
−
1
16
=
7
144
{\displaystyle \ VarS=\mathbb {E} S^{2}-(\mathbb {E} S)^{2}=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}x^{2}y^{2}dxdy-\left({1 \over 4}\right)^{2}={1 \over 9}-{1 \over 16}={7 \over 144}}
[ עריכה ]
משפט: פונקציה של וקטור אקראי
אם
h
:
R
n
→
R
n
{\displaystyle \ h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
|
∂
x
1
,
.
.
.
,
x
n
∂
h
1
,
.
.
.
,
h
n
|
≠
0
{\displaystyle \ \left|{\partial x_{1},...,x_{n} \over \partial h_{1},...,h_{n}}\right|\neq 0}
X
→
∈
R
n
{\displaystyle \ {\vec {X}}\in \mathbb {R} ^{n}}
f
Y
→
(
y
1
,
.
.
.
,
y
n
)
=
|
∂
x
1
,
.
.
.
,
x
n
∂
h
1
,
.
.
.
,
h
n
|
f
X
→
(
h
−
1
(
y
1
,
.
.
.
,
y
n
)
)
{\displaystyle \ f_{\vec {Y}}(y_{1},...,y_{n})=\left|{\partial x_{1},...,x_{n} \over \partial h_{1},...,h_{n}}\right|f_{\vec {X}}(h^{-1}(y_{1},...,y_{n}))}
-
פונקציות של וקטורים אקראיים -
![{\displaystyle \ X,Y\sim U[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee95e21673d400ea74d22eb6f55d8edfea7ae39)
