הסתברות/משתנים מקריים/התפלגויות מעורבות

התפלגות מעורבת היא התפלגות שאינה רציפה ואינה בדידה, אלא (לרוב) שילוב של שניהם, כך שמתקבלת פונקציה רציפה, פרט למספר סופי או ניתן להמנות של נקודות, בהן יש קפיצה. להלן ניסוי מעשי אשר מדגים התפלגות מעורבת: זורקים p-מטבע. במקרה של הצלחה מבצעים ניסוי שתוצאותיו נתונות על ידי המ"מ Y, ואילו במקרה של כישלון מבצעים ניסוי שתוצאותיו נתונות על ידי המ"מ Z. את תוצאת הניסוי הכולל ניתן לסכם במשתנה המקרי X:

$\ F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leq x)=\mathbb {P} (X\leq x|X=Z)\mathbb {P} (X=Z)\ +\ \mathbb {P} (X\leq x|X=Y)\mathbb {P} (X=Y)=$

$\ =\mathbb {P} (Z\leq x)(1-p)\ +\ \mathbb {P} (Y\leq x)p=pF_{Y}(x)+(1-p)F_{Z}(x)$

כלומר פונקצית ההתפלגות של X היא ממוצע משוקלל של פונקציות ההתפלגות של X,Y, בהתאם למשקלים שמעניקה נוסחת ההסתברות השלמה.

אם בדוגמה הנ"ל אחד המשתנים הוא בדיד (למשל: אחד הניסויים הוא זריקת קובייה) ואילו השני רציף (למשל: זמן חיים של נורה), אז X יהיה מ"מ מעורב.

משפט: פרוק התפלגות מעורבת יהי X מ"מ בעל פונקצית התפלגות $\ F_{X}(x)$. אז קיימים קבועים $\ 0\leq \alpha \leq 1\ ,\ \beta =1-\alpha$, קיימת פונקצית התפלגות בדידה $\ F^{d}(x)$ וקיימת פונקצית התפלגות רציפה $\ F^{c}(x)$ כך ש- $\ F_{X}(x)=\alpha F^{d}(x)+\beta F^{c}(x)$.

הוכחה

(להשלים)

דוגמאות

(להשלים)

-

התפלגויות מעורבות

-