הסתברות/מבוא/נוסחת בייס/תרגילים

שביעות רצון מקופ"ח

במדינה קטנה במזרח התיכון יש שתי קופות חולים; 75% מהתושבים חברים בגדולה מבין השתיים, והשאר בקטנה. סקרי שביעות רצון העלו ש-90% מן החברים בקופת החולים הקטנה מרוצים מן הקופה, בעוד שרק 80% מהחברים בקופת החולים הגדולה מרוצים ממנה. על-כן מפרסמת החברה הקטנה מודעות ענק שלפיהן "אם אתם מרוצים כנראה שאתם חברים שלנו". חשב את הסיכוי שאדם חבר בקופה הקטנה, בהנחה שהוא מרוצה.

הפתרון

נסמן ב-$S$ את התכונה "האדם חבר בקופה הקטנה", כך ש- $\ \mathbb {P} (S)=0.25$ ו-$\ \mathbb {P} (S^{c})=0.75$ (הקבוצה $\ S^{c}$ היא המשלימה של $\ S$). נסמן ב-$H$ את התכונה "האדם מרוצה". לפי הסקר $\ \mathbb {P} (H|S)=0.9$, בעוד ש-$\ \mathbb {P} (H|S^{c})=0.8$. לפי נוסחת ההסתברות השלמה, $\ \mathbb {P} (H)=\mathbb {P} (H|S)\mathbb {P} (S)+\mathbb {P} (H|S^{c})\mathbb {P} (S^{c})=0.9\cdot 0.25+0.8\cdot 0.75=0.825$. לכן הסיכוי של אדם מרוצה להשתייך לקופה הקטנה, שווה ל-$\ \mathbb {P} (S|H)={\frac {\mathbb {P} (S\cap H)}{\mathbb {P} (H)}}={\frac {\mathbb {P} (H|S)\mathbb {P} (S)}{\mathbb {P} (H)}}={\frac {0.9\cdot 0.25}{0.825}}={\frac {3}{11}}$.

בעיית מונטי הול

בשעשועון טלוויזיה, מוצגות שלוש דלתות בפני משתתף. מאחורי אחת מהן יש פרס, ומאחורי שתי האחרות אין כלום. המשתתף צריך לבחור דלת, והוא יזכה במה שאחוריה. המשתתף בחר בדלת, נניח דלת A. בשלב זה מחוייב המנחה לבחור דלת אחרת מזו שבחר המשתתף - דלת שאין מאחוריה פרס - לפתוח אותה (ולהראות שאין לה פרס), ולשאול את המתחרה האם הוא רוצה להתחרט ולבחור בדלת הנותרת. נניח שהדלת שפותח מונטי היא B, והדלת השלישית היא C.

לכאורה, המתחרה אינו יודע מה יש מאחורי דלתות A ו-C, ולכן אין זה משנה האם הוא מתחרט ועובר לדלת C או לא. האם זה נכון?

הפתרון

נגדיר כ-$\mathbb {P} (A)$ את הסיכוי שהפרס מאחורי דלת A, כ-$\mathbb {P} (B)$ את הסיכוי שהפרס מאחורי דלת B, וכ-$\mathbb {P} (C)$ את הסיכוי שהפרס מאחורי דלת C. משיקולי סימטריה, $\mathbb {P} (A)=\mathbb {P} (B)=\mathbb {P} (C)={\frac {1}{3}}$

לאחר שהמתחרה בוחר את דלת A, נגדיר את 'B כארוע שבו מונטי בוחר לפתוח את דלת B. אז:

1. $\mathbb {P} (B'|A)=0.5$, משום שאם הפרס היה מאחורי דלת A, מונטי יכל לפתוח הן את דלת B והן את דלת C.
2. $\mathbb {P} (B'|C)=1$, מפני שמונטי מחוייב לפתוח דלת אחרת מזו שבחר המשתתף שאין מאחוריה פרס, והאפשרות היחידה היא דלת B.
3. $\mathbb {P} (B'|B)=0$, מאותה סיבה.

כעת נשתמש בחוק בייס בגרסת ההסתברות המלאה, ונמצא כי

$\mathbb {P} (A|B')={\frac {\mathbb {P} (B'|A)\mathbb {P} (A)}{\mathbb {P} (B'|A)\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B'|B)\mathbb {P} (B)+\mathbb {P} (B'|C)\mathbb {P} (C)}}={\frac {0.5/3}{0.5/3+0/3+1/3}}={\frac {1}{3}}$.

באופן דומה אפשר לראות כי $\mathbb {P} (C|B')={\frac {2}{3}}$. לכן כדאי למתחרה להחליף את בחירתו לדלת C - הוא מכפיל את סיכוייו לזכות.

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: בעיית מונטי הול